由2022年高考數學題引發思維能力一體化訓練

周日橋

高考是高三復習備考的風向標，2022年高考數學依據課程標準，深化基礎考查，突出主干知識，創新試題設計，加強教考銜接，很好地引導和促進高三復習備考.筆者通過研究，發現命題方向是突出強基計劃之基礎導向，著重體現數學育人功能，尤其彰顯要學好數學所具備的思維能力.

一、考題回顧：思維能力多層次考查

什么是思維能力？思維能力是認知能力的一種，包括觀察、比較、類比、歸納、運算推理、可逆思維及分析綜合等能力.數學高考設置綜合性的問題和較為復雜的情境，如新高考數學Ⅰ卷第22題重視基于數學素養思維能力的考查，在數學知識、數學能力和創新思維都有所體現，對高三考生的復習備考給予了很好的思考與啟迪.

例1.（2022年新高考Ⅰ卷第22題）已知函數f（x）=ex－ax和g（x）=ax－lnx有相同的最小值.

（1）求a；

（2）證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f（x）和y=g（x）有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列.

【答案】（1）a=1.（2）證明：略.

【試題評析】問題（1）通過求導數可求出函數的單調性，于是可求得相應最小值，再通過對自變量x進行分類討論便可求得a.問題（2）根據（1）可得當b>1時，ex－x=b和x－lnx=b的解的個數都為2，于是可構建一個新函數h（x）=ex+lnx－2x，利用導數可得該函數只有一個零點且可得f（x），g（x）的大小關系，根據存在直線y=b與曲線y=f（x），y=g（x）有三個不同的交點可得b的取值，再根據兩類方程的根的關系可證明三根成等差數列.

典型錯誤主要表現有大概三分之一的考生出現邏輯欠嚴密，如由f（x1）=f（lnx0）直接得到x1=lnx0，缺乏對f（x）的單調性進行論述或討論方程f（x）=b解的情況，漏掉了不可或缺的推理步驟.通常求函數的最值問題都是借助導數討論函數的單調性，分析過程中往往要對參數進行分類討論，但對于不同方程的根的性質，則需要利用方程的特征找到兩類根之間的關系進行求解.

例2.（2022年新高考I卷第21題）已知點A（2，1）在雙曲線C：x2a2－y2a2－1=1（a>1）上，直線l交C于P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率之和為0.

（1）求l的斜率；

（2）若tan∠PAQ=22，求ΔPAQ的面積.

【答案】（1）－1；（2）1629.

【試題評析】求解本題思路大概有四：一是可以聯立直線與雙曲線，通過消元得到關于x的一元二次方程，再利用韋達定理得到兩根關系，結合直線斜率定義便可求出，運算量大，是一種常用的通性通法；二是利用設線求點的思路進行化簡，通過直線與圓錐曲線方程聯立消元，由設而不求也可求出，運算量也大；三是利用直線的參數方程設線求點，運算量較少，過程較簡單；四是采用齊次化的解法，代數變形較為簡單，運算量也較少，過程更為簡潔.概而論之，類似直線與雙曲線的綜合問題，復習中要考慮直線斜率、直線與曲線的關系，常用方法是聯立方程消參法或點差法，借助設而不求的技巧，再結合定值、三角形面積等條件進行轉化、化歸，目的是考查考生的推理、運算、驗證等思維能力，體現由能力立意轉向素養立意，對考生的思維能力要求較高.

例3.（全國甲卷理科第20題、文科第21題）設拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為F，點D（p，0），過F的直線交C于M，N兩點，當直線MD垂直于x軸時，|MF|=3.

（1）求C的方程；

（2）設直線MD，ND與C的另一個交點分別為A，B，記直線MN，AB的傾斜角分別為α，β.當α－β取得最大值時，求直線AB的方程.

【答案】（1）y2=4x；（2）AB：x=2y+4.

【試題評析】全國甲卷理科第20題、文科第21題，其中第（1）小問由定義得|MF|=p+p2，結合已知條件很容易求得結果.第（2）小問依題可設點的坐標及直線MN：x=my+1，聯立兩方程利用韋達定理得kMN=2kAB，之后由正切公式進行推導，結合基本不等式得kAB=22.再設直線AB：x=2y+n，結合韋達定理便可求解.解題的巧妙之處在于利用方程對進行化簡，通過聯立方程用韋達定理得到兩橫坐標的和與積關系，綜合考查了直線、拋物線、三角函數、不等式等知識，體現了復習中要抓住問題本質進行分析的思維能力.

二、難度分析：選拔性功能愈加突出

1.運算素養要求高，小題運算難度大

今年高考題不僅大題難度大（如前提及的題目1-3），而且小題運算量大增，絕大多數考生按以往經驗和解題套路都拿不了高分.由于小題難度增大導致用時過長，嚴重影響了后面大題的解答時間，再加上考試緊張增加了考生心理焦慮，大大制約了正常水平的發揮，更不可能超水平發揮了.又如2022年新高考全國Ⅰ卷中同一知識點考了多次，如第7、10、12、15、22等都考查導數（以往同一張卷子不會同一知識點考那么多次），單求切線就考了幾次.在這種情況下，考生具有良好的思維能力就顯得尤為重要了.

例4.（全國乙卷理科第4題）嫦娥二號衛星在完成探月任務后，繼續進行深空探測，成為我國第一顆環繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數列{bn}：b1=1+1a1，b2=1+1a1+1a2，b3=1+1a1+1a2+1a3，…，依此類推，其中ak∈N*（k=1，2，…）.則（）

A.b1

C.b6

【答案】D.【試題評析】根據ak∈N（k=1，2，…），再利用數列bn與an的關系判斷bn中各項的大小，便可求得答案D正確.數學試卷選取我國科技發展與進步中取得的重要成就作為試題背景，體現數學的應用價值和時代特征，激發考生樹立為國家服務、奉獻科技事業的信念.如上面全國乙卷理科第4題以嫦娥二號衛星在完成探月任務后，繼續進行深空探測成為我國第一顆環繞太陽飛行的人造行星為情境，考查學生綜合應用數列、函數、不等式等基本知識的思維能力.

例5.（新高考Ⅱ卷第3題）中國的古建筑不僅是擋風遮雨的住處，更是美學和哲學的體現.如圖是某古建筑的剖面圖，其中DD1，CC1，BB1，AA1是舉，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為DD1OD1=0.5，

CC1DC1=k1，BB1CB1=k2，AA1BA1=k3，已知k1，k2，k3成公差為0.1的等差數列，且直線OA的斜率為0.725，則k3=（）

A.0.75______B.0.8______C.0.85______D.0.9

【答案】D.

【試題評析】根據題意可設OD1=DC1=CB1=BA1=1，則CC1=k1，BB1=k2，AA1=k3，于是可得k3=k1+0.2，k3=k2+0.1，且DD1+CC1+BB1+AA1OD1+DC1+CB1+BA1=0.725，代入化簡可得k3=0.9.試卷以中華傳統文化為情境，讓學生領略中華民族的智慧和數學應用的成果，從而樹立文化自信心，增強民族自豪感.如上面新高考Ⅱ卷第3題以中國古代建筑中的舉架結構為背景，考查學生綜合應用等差數列、解析幾何、三角函數等基礎知識解決實際問題的思維能力.

2.題型靈活多樣化，套路刷題難得分

2022年高考題體現了“棄模式，去套路，求創新”的特點，與平時考生心目中的“機械刷題”大相徑庭，考生感嘆“長時間刷題到頭來只刷了個寂寞”，許多考生本想數學科拿高分結果大失所望，深感平時為數學的大量付出而懊惱不已.顯然，今年解答題大部分的第（1）問運算量和思維量都增加了許多，不少考生為此大為困擾.例如，2022年新高考Ⅰ卷第18題第（1）問根據已知條件不是得到某個值（角度或三角函數值），而是得到一個兩個角的關系式（角B與角C的函數關系式）；第（2）問從題目特征來看，不少考生會認為用余弦定理會比較簡單，結題用正弦定理進行“邊化角”更容易.或許不少考生感悟要“不畏浮云遮望眼”深入剖析，掌握題目特征和思維考查要求才是王道.

例6.（新高考Ⅰ卷第18題）記ΔABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B.

（1）若C=2π3，求B；

（2）求a2+b2c2的最小值.

【答案】（1）π6；（2）42－5.

【試題評析】第（1）小問依據誘導公式（二倍角和兩角和差）進行化簡，由cosA1+sinA=sin2B1+cos2B得cos（A+B）=sinB，再結全三角形性質便可求得.

第（2）小問可由第（1）小問得到兩個關系式：C=π2+B，A=π2-2B，再利用正弦定理及二倍角公式將a2+b2c2化簡成為4cos2B+2cos2B－5，之后再利用基本不等式便可求得結果.

但實事上，第（2）不會運用正弦定理進行“邊化角”運算的大有人在，大概占比13%，不少考生只寫了a2+b2c2=2abcosC+c2c2，出現這種情況的原因大致有三：一是看到邊長的平方第一意識是用余弦定理；二是在正弦定理的訓練中，往往把重心放在ab或sinAsinB這類形式的化簡上，對于二次齊次式如a2b2或sin2Asin2B這類的化簡比較少；三是考生缺少多變量問題轉化為單一變量問題的思想方法，導致看到a2+b2c2直接就感到焦慮而無從下手.

3.核心素養最重要，改造題目收益多

研究發現，高考題幾乎都是“源于教材而又高于教材”的原創題，2022年新高考Ⅰ卷再一次彰顯了這一特點，而且難度大大增加，主要是考查數學核心素養，其關鍵還是考查考生的思維能力.顯然，以往的大量解題刷題、校外培訓套路等優勢已明顯應付不了了，這進一步昭示著復習要回到知識原點，深入研究教材學法，靈活運用通性通法，嘗試改編課本題目，不盲目依靠所謂的教輔寶典.

三、回歸教材：思維能力一體化訓練

研究發現，要突破2022年新高考Ⅰ卷題目之難，其前提還是要培養好學生的思維能力，尤其是要培養好題目理解、信息處理、批判質疑和語言表達等方面的能力.考生一看到題目，閱讀理解能力起首要作用，審題不能出現偏差；分析過程中，信息處理能力起關鍵作用，整合不能出現錯誤；求解過程中，批判思維能力起重要作用，推導不能出現缺漏；書寫過程中，語言表達起主要作用，書寫要規范，勿漏了不可或缺的步驟.

1.素養導向，促進思路一體化發散

2022年高考題提倡應用已有知識和方法去解決一些“活”的現實問題.例如本文題目1在核心素養導向下，要注意以下兩種思路：一是用同構的數學思想，觀察f（x），g（x）的結構，只要將f（x）中的x替換成lnx，即為函數g（x）的結構.類似的同構思想在函數中較為常見，如x1ex1=x2lnx2=lnx2·elnx2，左端的x1與右端lnx2的均可作為函數f（x）=xex的自變量的值.二是采用數形結合這一重要的數學思想，巧妙地利用y=x+b，y=ex及y=x－b，y=lnx關于y=x對稱，得到四邊形ABCD為矩形，所以對角線互相平分，對角線中點橫坐標相等，從而可以證明x1，x2，x3成等差數列.用數形結合法時要強化思維能力訓練，由圖形的感性直觀上升到理性思維.

2.鉆研教材，重視母題一體化拓展

高考題中基礎題通常占60%，這些題幾乎都是源于教材的改編題或創新題.因此，復習備考要以大單元為統領，對教材中的例題、練習和習題進行深度研究、變式拓展，充分用好“母題”開展系列化、專題式探討，避免大量的機械刷題.

比如不少考生不重視反函數法的應用，但如果能熟練掌握，往往可起到“事半功倍”“眼前一亮”之效.此思路來源于：

教材題目1.（人教版選修2-2第40頁Ｂ組第1題）利用函數的單調性，證明下列不等式，并通過函數圖象直觀驗證：lnx0.

羅增儒教授提到“教材是課程的載體，因此高考命題最具體、最方便的依據其實是教材.”高考題往往是對教材進行補充、變式、拓展，給考生的感覺應該是似曾相識而又似乎沒見過，在教材中卻又能找到“源頭”.

例7.（2020新高考Ⅰ卷第21題）已知函數f（x）=aex-1-lnx+lna.

（1）當a=e時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；

（2）若f（x）≥1，求a的取值范圍.

【試題解析】（第（2）問：反函數法）f（x）=aex－1-lnx+lna1等價于aex-1≥lnx－lna+1=lnexa，由于y=aex－1與y=lnexa互為反函數，它們的圖像關于直線y=x對稱.我們只需aex－1≥x即可.因為aex－1≥x，所以a≥xex－1.

不妨令g（x）=xex－1（x>0），則g'（x）=1－xex－1在（0，1）上g'（x）≥0，g（x）單調遞增，在（1，+）上g'（x）<0，g（x）單調遞減，所以g（x）max=g（1）=1，所以a∈［1，+）.通過以上的解法分析，利用反函數法實質上是找“中間量”，直線y=x只是“中間量”的一個代表，借助于這樣代表的“中間量”，可以讓過程簡單而思維能力又得到進一步訓練.找“中間量”是證明不等式常用辦法，這種方法在比較大小、數列放縮、數學歸納法證明中常有應用.究其原因，這些“母題”還是來源于教材，比如：

教材題目2.（2019人教A版高中數學選擇性必修第二冊第104頁復習參考題第18題）

已知函數f（x）=ex－ln（x+m）.當m≤2時，求證f（x）>0.

教材題目3.（人教版選修2-2第40頁Ｂ組第1題第（３）題）利用函數的單調性，證明下列不等式，并通過函數圖象直觀驗證：ex>x+1，x≠0.

立足教材生成變題，是高考命題一個不爭事實，根據“母題”進行編題是命題的一個趨勢.如何正確使用教材？如何深入研究教材？如何對教材進行改編？這很值得高三考生深入思考和探究.

3.注重通法，強化單元一體化復習

高考中的通性通法遷移屬于下位遷移，2022年高考有一個很突出特點就是考查通性通法，這在很大程度上要求學生能將知識、思維和方法內化為自身的應用系統.

比如上述題目1（2022年新高考I卷第21題）在解答完成后，為了強化通性通法的掌握和應用，還應該增加以下的變式思考：一是可將點A（2，1） 改為點A'（22，3），其他條件不變，檢驗自己的掌握程度；二是將點A（2，1） 改為A（x0，y0）（y0≠0），將定點問題轉化為動點問題，培養通性通法思維；三是

將條件與所求問題適當對調，比如在知道a2=2，kl=-1等條件下，求kAP+kAQ；四是將雙曲線改為橢圓或拋物線，情況又會怎樣？如此這般，不斷引導自己進行變式訓練，通過一個題了掌握一類題或一個小體系，讓通性通性的訓練成為一種復習常規.

4.精選資料，重視融合一體化重構

高三教材教輔資料各類繁多、參差不齊，而且從學習目標、知識結構、專項訓練、隨堂檢測、作業拓展等都應有盡有.面對智能化精細化的海量信息，學生的選擇能力和整合能力就顯得尤其重要了.新課標強化問題解決能力和綜合應用能力，“無情景不復習”，復習中要充分理解問題情景，結合方程與函數、不等式、圖形的變化、抽象與數據等分析問題和解決問題，從而訓練自己能應對有關應用型、綜合型和探究型等情景的思維能力，減少機械記憶、死記硬背、刷題套路等低效做法，學會主動思考、觀察猜測、運算推理、數據驗證和直觀想象等思維方法.

四、結語

對高中生學習而言，“冰冷的美麗”背后往往有“火熱的思考”，愛因斯坦曾說：“發展獨立思考和獨立判斷的能力，應當始終放在首位，而不應當將獲得知識放在首位.”2022年高考題充分體現教材具有很多概念性和邏輯性很強的知識內容，這需要考生會根據有關的問題情景，通過一體化訓練提高自己的思維能力，從而達到了解、體驗或感悟數學的思維之美、學習之美和文化之美.

【本文系廣東省教育科學規劃2021年度中小學教師教育科研能力提升計劃項目“基于‘學習羅盤2030的中小學數學一體化教學實踐研究”（項目編號：2021YQJK012）；廣東教育學會“十四五”教育科研重點課題“粵港澳大灣區背景下‘五位一體協同育人模式研究”（項目編號：GDESH14003）階段性研究成果】

責任編輯徐國堅