聚焦意義，讓學習走向深度

金瀅

［摘 ?要］ “數對”是溝通學生認知結構中代數與幾何的重要基石，在教學中教師應幫助學生主動探究，感悟數學思想，經歷活動過程。在意義的教學中教師需要進一步思考增加或刪減的內容，讓學生的有意義學習得以進行和拓展。

［關鍵詞］ 有意義學習；學習心向；數對

一、偶遇：關于“數對”的錯誤表白

“數對”是小學數學教學中比較特殊的一個內容，“數對”的學習對學生后續數學核心素養的發展具有非常重要的意義。教師既要關注學生的空間觀念，又要關注學生的代數理解。大多數教師深諳此理，但在實際教學中卻存在著一些問題。

（一）忽略現場的“情境設計”

教師們在教學“用數對確定位置”這一課時，往往會想辦法創設看起來貼近學生生活的教學情境。

師：看，這是同學們參加軍訓的場景。大家隊列整齊，精神抖擻，真像一個個小軍人。小強是小班長，你找到他了嗎？那你能描述他在隊伍中的具體位置嗎？誰來說說。

（出示軍訓情境圖）

生1：第2排第3個。

生2：從前數第2排從右數第4個。

……

在這樣的情境中，教師發現引導學生用不同的方法描述小強的位置時有些困難，從而引出“數對”的教學。然而，在這個情境中學生始終處于觀察者的位置去調動生活經驗進行問題解決。數對的引出只是為了表達方式的統一，從直觀圖到數對僅僅是生活數學到數字化表達的提升。教學中教師把學生所處的現實情境與圖示情境進行轉換才是教學的難點，才能讓學生的空間觀念與直角坐標系進行對接，這不正是笛卡爾的初衷所在嗎？

（二）走過場式的“教師牽引”

在數對的教學過程中，看似由學生經歷了創造“統一符號”的過程，實際上這是教師預先設定的環節，學生只是走過場而已。

在學生用多種方法表示某一位置后。

師：數學是一種國際語言，追求簡潔明了，這些文字寫起來多麻煩啊，能不能把這些方法寫得再簡單些呢？想一想，把你的想法記錄在學習單上。

學生開始思考。

教師展示學生作品后，介紹數對。

乍一看教師確實在努力引導著學生探索最佳的表示方法。但是在這一過程中，學生真的有收獲嗎？學生真的有效理解了這個知識點嗎？對于處于第二學段的學生來說，數對是一個新的事物，在他們的認知結構中是很難想出既合適又簡便的表示位置的方法，一味地為了“教師牽引”而讓他們去探索，只能適得其反。

（三）浮于表面的“數學思想”

在教學中教師努力地滲透數形結合的思想，讓學生在方格圖上找點，找出同一列的數對的第一個數字相同。

師：你能用數對表示出方格圖上這幾個點的位置嗎？根據數對，能指出（2，4）和（3，5）分別在哪兒嗎？

（2，3）和（2，4）它們的位置有什么共同點？表示它們位置的數對有什么共同點？

但在這一過程中，學生只是被動地去發現，去接受教師所教授的內容，并沒有真正地感悟到原來數對還可以用來描述圖形上的點的位置，這樣的“數學思想”自然是浮于表面的。

二、思考：關于數對確定位置的聚焦點

以上幾點只是傳統的“數對確定位置”教學中的冰山一角，那么該如何解決這些問題呢？教材是眾多專家和一線教師智慧的結晶，是新課標的進一步展開和具體化，而學生又是學習的主體。接下來筆者將聚焦于教材和學生兩個角度進行思考。

（一）教材編排中窺探聚焦點

１. 知己：縱向聚焦探究竟

以人教版教材為例，教材在“位置與方向”領域在不同年段安排了4個內容（如表1所示）。

可見，學生在會用“上、下、前、后、左、右”以及“東、南、西、北”等方位詞來描述位置之后，教材安排了“用數對確定位置”的學習內容，而這一內容并不僅僅是簡單的生活意義上的確定位置，還是認識坐標的雛形，并引導學生用坐標的方法描述位置，為后續能夠描述簡單的路線圖奠定知識基礎。因此，教師應當基于學生的有意義學習來展開教學。

２. 知彼：橫向對比得不同

為了尋求引導學生有意義學習數對相關知識的有效途徑，筆者精心閱讀了三個版本的教材（如表2），發現它們在編排上有所差異，但在知識形成體系上卻有著異曲同工之處。

筆者結合各個版本教材的特點以及學生進行有意義學習的相關情況，將教材整合如下：

（1）化靜為動凸顯概念本色

教材中的情境圖是靜止的，有時并不能完整、準確地表達編者的意圖。在教學中，教師可以先完整呈現教材中的教室位置情境動態圖，再隱去一部分，讓學生更專注、更有效地感受到數對概念的本質。

（2）化直為曲經歷活動過程

三個版本的教材給出的都是教室的座位圖，這樣直接對接數對雖然比較直觀，卻忽略了學生從自身位置到數對的轉換。所以在教學時，筆者決定選取學生最熟悉的這個教室，從學生最熟悉的情境和事物出發，讓學生經歷由真實生活空間到數學符號轉化的曲折過程。

（3）化無為有體現數學思想

仔細分析三個版本的教材不難發現，教材中都提供了圖形中的數對。所以，在教學中，筆者選取了從點到線到面這樣的形式，出示格子圖中的長方形，從原來什么都沒有，到有一個點，點連成線，線連成面，讓學生逐漸感悟到數形結合的數學思想。

（二）學生起點中尋覓聚焦點

學生在之前已經學習過用“第幾組第幾個”的方式來描述實際情境中物體的位置，并且在生活中也有許多類似的經驗，但是學生對物體位置的描述還沒有形成特定的規范。為了了解學生學習的起點，筆者設計了以下三道前測題。

１. “組”“排”的意義是學生描述位置的基礎

處于第二學段的學生對于位置的描述還沒有形成特定的規范，皮亞杰的認知發展理論指出11歲至成人的這段時間是兒童思維發展趨于成熟的階段。這個階段的兒童能理解符號的意義，能對事物做一定的概括（學生做題的統計如圖１）。

從結果中不難看出，大部分學生能夠想到用“組”“排”的意義去描述物體的位置，部分學生還想到了帶上方向。這是本課學習的現實基礎之一。

２.豐富的生活經驗是位置意義的原材料

生活中學生接觸到的有關位置的情境較多，如電影院的位置、動車上的位置、飛機上的位置等，也能想到生活中類似的經驗，而這恰好就是本課教學位置意義的前提。

３.數軸上點的認識提供了一維的意義基礎

雖然在之前的數學學習中，學生沒有接觸過數軸，但是大多數學生可以用自己的方式描述A、B、C三個點的位置。這為后續學習像數對這樣的二維坐標提供了一維的意義基礎。

如表3所示，大部分學生知道要去數點的數，只有少部分學生考慮到了方向。綜合三道前側題的調查數據，不難發現學生能用自己的語言描述位置，但是大多不規范，所選取的思考角度也都不同，這就有了數對產生的必要性。

綜上所述，不管是教材的編排還是學生的起點，都具有一定的現實意義。與傳統的數對教學不同的是，筆者認為本節課要讓學生有意義地學習數對。

三、實踐：讓“有意義”成為教學的核心

基于“數對確定位置”的教學現象，以及奧蘇泊爾的相關理論，筆者結合教材編排以及學生起點，切實落實數對概念的本質，讓學生有意義地理解數對的相關性質，從而發展學生的空間能力。

（一）意義呼之欲出：“小品式”沖突引生入“甕”

合理的認知沖突有助于激發學生的“有意義學習心向”，在整個教學過程中，筆者創設了三個“小品式”的沖突，引導學生的思維一步步走向深入。

１. 沖突1：4個同學的“爭執”

在學生用“組”“排”介紹完自己在教室所處的位置后，筆者直接在黑板上板書（4，5），請認為是自己所處位置的學生站起來，一下子有4個學生站了起來，大家都覺得自己是有道理的。

生1：我坐在從左往右數的第4排，從前往后數的第5個座位。

生2：我坐在從左往右數的第4排，從后往前數的第5個座位。

生3：我坐在從右往左數的第4排，從后往前數的第5個座位。

生4：我坐在從右往左數的第4排，從前往后數的第5個座位。

這時，筆者提出：大家都覺得自己是對的，看來要想用它來確定咱們班同學的位置得先做一個規定。在學生原有的認知結構中，（4，5）可以有不同的意義，那么到底應該如何來判斷呢？

沖突1的創設，讓學生有了“有意義學習的心向”，對數對學習有了興趣，為后面自己去探究數對的相關性質奠定了基礎。

２. 沖突2：第8列的困惑

在學生對數對有初步認識后，筆者板書了（8， ?）這樣一個并不完整的數對，提問學生：這個數對所表示的是我們教室中的哪一位同學呢？

不同水平的學生有不同的思考，在這個過程中筆者沒有直接給出數對必須有兩個數字這個性質，而是通過創設又一認知沖突，讓學生在這樣的氛圍中有意義地習得這一知識，水到渠成。

３. 沖突3：一起找小亮

學生已經學會用數對來描述教室中的位置，這是學生原有的生活經驗基礎之上所能達到的高度。而數學教學就是將生活中的數學轉化成抽象的數學知識的過程。

因此在教學中，筆者設計了這樣一個“一起找小亮”的環節，出示教材上的情境圖（如圖２），讓學生用數對來描述小亮的位置。學生有了前面的知識經驗，很快描述出了小亮的位置。這個時候，教師將小亮周圍的其他同學隱去，追問：現在這樣，你能用數對表示出小亮的位置嗎？

從教室到一幅情境圖，學生都可以直接判斷出位置，現在一下子隱去了其他人，學生發現沒有辦法判斷了，所以一致認為應該把人數填滿。

筆者追問：什么叫作“把人數填滿”？教師出示格子圖，用格子上的點代替其他同學，然后要求學生在格子圖上找到小亮的位置。

在這一環節，筆者采取了“先出現、再隱去、最后抽象成格子圖”的方式，學生可以更加直觀地感受到數對的坐標意義，為后續第三學段學習二元一次方程奠定了知識基礎。

（二）揭秘步步為營：任務式探尋主動啟智

數對的概念比較抽象，與小學生思維的具體形象性之間的矛盾，造成小學生掌握這一概念比較困難，因此在教學中筆者引導學生主動去探尋，增長知識。

1. 自學中長知識

奧蘇泊爾強調，學生在學校中的有意義學習最主要的應該是有意義地接受學習。接受學習并不就等同于機械學習，它可以并且應該是有意義的學習。

所以當學生對（4，5）這個位置產生疑惑的時候，筆者就呈現規定：（4，5）第一個4表示從左往右數第4組，5表示從前往后數第5個。隨后筆者在黑板上寫一個數對（6，1），詢問這表示哪個同學的位置呢？

這時，筆者提出探究任務：學生自學教材上關于數對的知識。在這一學習任務的引領下，學生有意義地學習一個新的知識點“數對”。自學結束后，圍繞數對這一個知識點展開進一步的教學。

2. 尋找中促理解

心理學研究表明，良好的學習情境可以激發學生的學習興趣，從而促進他們對知識的理解。因此，在學生自學后，設計“找一找”的環節，讓學生在這樣的學習氛圍中更加深入地理解知識。

在學生能夠用數對表示自己和同學在教室中的位置后，通過問題“在教室里表示的是你的位置，在這幅圖中表示的是誰的位置”激發學生的認知沖突，引導學生將空間想象從“本位感知”轉向“間接轉換”——課件的座位圖中出現相應的數對，學生根據圖示與現實情境對接，確定該位置對應的同學，體會到行和列的相對性，漸漸地加深了對數對意義的理解。

（三）思想層層滲透：數學化引領深入人心

學生的數學思維離不開數學思想方法，教師要關注教材中所蘊含的數學思想，在教學過程中有機滲透，讓學生在潛移默化之中去感悟、應用它們。

1. 由意義到本質，突破符號化

數對的理解需要學生將圖轉化成完整的數學表達，在學生學會根據數對來尋找教室里的位置以及圖上的位置以后，教師讓學生寫出小亮所在的位置，正如前文提到的“先出現、再隱去、最后抽象成格子圖”。同時，教師通過前面一環節出示（8， ?），使學生意識到數對必須有兩個數，讓學生在感受符號化思想的同時逐步感悟出數對的本質——任意兩個有序的數都能確定位置。

2. 由情境到模型，實現坐標化

數學模型是學生數學學習的重要內容，學生學習數學知識的過程就是對一系列數學模型理解的過程。因此，在將數學情境轉化成模型的過程中，學生漸漸理解了坐標化的數學思想。

學生在由情境到模型的轉化過程中，不僅感悟到在三種圖中用數對確定位置的內在聯系（如圖3），還借助格子圖滲透了“坐標”的思想，為后續的學習打下堅實的知識基礎。

3. 由靜態到動態，數形聯結化

在學生會用數對確定格子圖上的位置后（如圖4），筆者繼續拓展，出示A點，循序漸進，找出B、C、D點的位置后，探究性質。

師：你們還會找A點嗎？

師：現在這個點要變化了。A向右移動變成B，A向上移動成為C。

你能用數對表示出B、C兩個點的位置嗎？請把它們寫在學習單的前面。

筆者展示學生作品。

課件出示：AB連成線段，AC連成線段，把它們分別向右向上平移，變成了一個長方形。你們能用數對來表示D嗎？

師：你有什么發現？

生1：C和D行數10，A和C列數4，B和D列數17，A和B行數3。

師：你還有什么補充？

生1：假如在第4列，數對第1個數不會變。假如在第10行，數對第2個數不會變。

采用數形結合思想進行小學數學教學不僅能將抽象的數學語言變得形象易懂，而且有利于培養小學生數學思維和空間想象力。學生在學習數對的同時，還感悟到圖形的特征和數對的特征可以彼此映襯。

（四）拓展耐人尋味：深度化練習“意”在人為

數學學習的過程從本質上來說就是讓學生親歷數學化活動的過程，而親歷數學化的過程就是學生學習數學意義的一個最基本的路徑。

1. 開放式情境，“意”促理解

開放式的情境能讓學生在思考和分析時思路更加開闊，能夠充分利用已學的數學知識進行思考。“糖果可能放在哪些同學的位置上”就是一個極具開放性的問題，每個人對于糖果所放的位置都有不同的想法，可以從0開始標，也可以從其他數字開始標，答案不唯一。

筆者請學生畫一畫、標一標糖果可能放在哪些位置上。這樣的一個開放性的問題極大地促進了學生對數對意義的理解。

2. 代入式體驗，“意”由心生

數學學習離不開個體的體驗，只有充分的體驗，學生才能真正地理解數對的意義，而意義的理解也是由學生的內在需要達成的。教師應在教學中充分引導學生去體驗、感悟、實踐。

在進行反饋時，教師發現學生的創造能力是很強的，有的是“中規中矩”地從0開始標；有的標著標著發現這樣分下去，自己分不到糖果了，所以就改變了起始的位置。在這一過程中，學生順理成章地將自己代入這個分糖果的情境中。而在這一代入式的體驗中，學生自然而然地感悟到為什么要創造出數對來描述位置，更加深刻地體會了數對的意義。

創設開放性的情境式練習，使得每一個學生都能參與進來，并且由于所處的地點就是他們的教室，他們具有強烈的代入感。正是在這樣極具代入感的開放式情境中，學生進一步體會到用數對確定位置的必要性和數對的意義。

數對的教學源于意義，同樣也成于意義。基于有意義的學習，學生對“數對”的認識從淺層走向深層，將其納入原有的認知結構中，讓學習有趣、有序也更加有效！