基于信息技術對小學數學模型意識培養的路徑探尋

戴厚祥 朱濤

［摘 ?要］ 模型意識是小學數學中一種核心的基本意識，它滲透于小學數學學習的各個方面，如運算模型、方程模型、幾何圖像模型等。對小學生而言，他們幾乎每天都在進行和模型學習有關的活動。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標（2022年版）”）將“模型思想”更名為“模型意識”，同時明確指出：“數學建模是數學與現實聯系的基本途徑。”［１］良好的模型意識，有助于學生用數學的眼光認識現實世界。但在實際教學中，學生模型意識的培養被情境、工具等所局限而無法得到有效實現。文章基于信息化大背景，融合信息技術手段，以“技術”助力數學模型建構的過程，為培養學生模型意識提供新路徑。

［關鍵詞］ 信息技術；模型意識；建模學習；新路徑

一、概念解讀：數學模型、模型意識與數學建模的內涵

（一）數學模型

關于模型，《辭海（第七版）》是這樣描述的：與“原型”相對，即研究對象的替代品。百度詞條注釋為：依照實物的形狀和結構按比例制成的物品。簡單來說，模型可以大體分為兩類：第一類是實物模型，常見的如汽車、地球儀、鐘表的模型等；第二類是虛擬模型，也就是為了解釋現象、描述規律或闡明理論等進行的示意性描述，如數學模型、天文學模型、經濟學模型等。

關于數學模型，存在狹義和廣義的理解。

狹義上看，數學模型就是反映事物特征或事物之間數量關系的數學結構。比如，張奠宙認為：數學結構是反映特定的問題或事物的數量關系的結構［２］。徐利治認為：數學模型是指參照事物的特征或數量關系，運用數學語言概括化地表達出來的一種數學結構［３］。

廣義上看，數學中的各種概念、公式和理論都可以稱為數學模型。張欽在《基于建模思想的小學數學教學設計研究》中指出：“從廣義上講，小學數學課程中所學習的數學概念、命題、圖表等都可以指數學模型。”［４］

綜上所述，數學模型可以認為是為了解決某一問題、達到某一目的，借助數學語言對事物本身的特征或對象的內在關系進行表達所形成的一種數學結構。

數學模型在生活中有著廣泛的應用。比如：在認識圓柱和圓錐時，學生借助手邊的圓柱模型進行觀察，這是實體數學模型的應用；數學課上，教師用計算機上可以自由拖拽的虛擬的圓柱體給學生講課，這是虛擬數學模型的應用；古人甚至用數學模型解決諸如“田忌賽馬”這樣復雜的現實問題。可見，模型存在于數學的不同種類的問題之中，有的問題與生活緊密相關，有的問題較為抽象，需要教師注意“直觀”與“抽象”的關系。數學模型的建構與使用不僅可以簡化這些復雜的問題，還能準確刻畫某一抽象事物或復雜事件的過程，進而彰顯內在的演化規律，提升學生的實際應用意識，培養學生的創新意識，幫助學生搭建數學與現實世界溝通的橋梁。

（二）模型意識

模型意識是新課標（2022年版）的“十一個核心概念”之一，從原本的“模型思想”更名為“模型意識”，并在初中階段發展為“模型觀念”。無論是“意識”還是“思想”，它們都強調“會用數學的語言表達現實世界”。因此，有部分學者這樣定義：“數學模型思想是指用數學的語言描述現實世界所依賴的思想。”這是十年前對于“模型思想”的解釋。不難看出，這種描述的側重點在于“數學語言”。同時，新課標（2022年版）中在模型意識和模型觀念中同樣都涉及了數學語言。小學階段常見的數學語言包含文字語言、符號語言、圖像語言，它具有簡潔、通用的特點，也正因如此，它為人們提供了與現實世界交流與表達的一種獨有的方式。綜上，筆者認為小學階段的模型意識就是學生經歷用數學語言表達數學問題或現實問題的過程，有意識地運用數學語言表達或描述問題，感悟這種交流方式的意義與價值，逐步養成這種習慣的一種寶貴的數學意識，它也是初中方程、函數等抽象化的數學語言表達的重要基礎。

（三）數學建模

數學建模不是純粹的解題，它指的是“通過建立模型的方法來求得問題解決的數學活動過程”，一個嚴格的數學建模應至少包含這樣幾個基本步驟（如圖1）：

結合實際，有時數學建模無須經歷所有的環節。值得關注的是，上述過程中最重要的步驟是從數學問題抽象成數學模型這一步，一旦模型建立錯誤，后面將前功盡棄。因而，學生需要借助過往的經驗，在教師的引導下嘗試運用已掌握的數學語言去表達、描述、解釋等。根據實際教學，教師也可以把上述流程圖簡化為四個步驟（見表1）。

就小學階段而言，低年級學生的數學建模往往比較形象、具體，容易理解；中、高年級的數學建模相對比較抽象，難以理解，需要借助信息技術幫助建模。

二、現象掃描：數學建模教學中的思維誤區

現實教學中，模型意識本身的抽象性、建模過程的復雜與困難，導致教師難以掌握數學建模教學的要點。教師即使認識到了模型意識的重要性，也不知道該如何滲透，即便知道了建模的一般化步驟，也不知道如何規范地開展教學，更不知道如何進行準確評估。學生在這樣的課堂中，“看似學過了”“掌握了”，卻沒有建立真正的模型意識。從筆者聽課的記錄和查閱知網等80余篇文章來看，當前小學數學建模教學存在一些共性問題。

（一）建模情境選擇偏離

建模的起點是情境，因此情境的選擇決定了建模的結果。在建模的數學課堂中，教師都會嘗試嵌入一個情境，而這樣的情境則會面臨一些質疑：它是否是真實的？它能貼合學生的已知經驗嗎？它能否激發學生建模的意識？……這些問題其實都在考驗情境該如何更好地與課堂融合，以實現模型意識的優化。比如筆者在一篇“乘法分配律”的實錄中看到，教師為了讓學生理解（50+35）×4和50×4+35×4這兩個算式之間的關聯，創設了如下情境：“上衣50元，褲子35元，李老師買了4件上衣和4條褲子，一共要付多少元？”顯然，學生在日常生活中自己購買衣服的經驗很少，甚至幾乎沒有，因此他們很難把已有經驗和問題情境密切聯系起來。此外，這種脫離學生生活實際的情境對學生來說也毫無吸引力，既無趣又枯燥。

建模的需求性問題關乎建模思想培養的動力問題，學生只有對情境感興趣才愿意自主探究。相較于被動解決問題，學生的自主探究會更為主動且高效。當然，情境不能一味地追求激發學生的興趣，其內容應該緊扣模型需要解決的問題或困境，讓學生能夠自然且順利地在給定的情境下使用數學語言。建模情境中最容易被忽視的就是學生的已知經驗。究竟什么樣的情境才真正貼合學生呢？綜上，筆者認為優秀的建模情境至少滿足以下要求：情境設置要“有趣”，能夠調動兒童建模的動力；情境選擇要“合理”，符合兒童的認知發展規律，同時兼顧兒童的最近發展區；情境內容要“關聯”，能夠貼合兒童的生活實際。

（二）建模能力理解失準

在建模過程中，學生有了建模的動力后，面臨的最大問題就是不會建模。其中最大的障礙就是學生的數學語言與建模活動之間的沖突。以蘇教版小學數學中的“和差問題”為例：“五年級一班、二班共有學生100人，一班比二班多6人，則兩個班各有多少人？”這樣的問題會出現在三年級下冊的數學書中，往后還有“和倍”“差倍”的問題。從實際教學來看，解決這樣的問題一般會經歷“分析條件——依據數量關系畫線段圖——列式解答——檢驗答案”的過程（如圖2）。

學生在此之前已有的經驗是蘇教版三年級下冊的“解決問題的策略——畫線段圖”。因此，解決“和差問題”時，需要學生熟練掌握用線段圖的語言方式來描述此類問題，如果學生無法想到用線段圖或示意圖來表征，那么他的建模就很難進行。相反，有了這樣的基礎，學生在“量”的積累下逐漸實現“質”的完善，最后形成“大數=（和+差）÷2，小數=（和－差）÷2”這樣抽象的數量關系式，就可以順利完成初步的建模。在進行建模教學中，教師要充分考慮到學生的已有經驗，結合建模內容，讓學生不僅有話“可”說，還要有話“能”說。

（三）信息技術水平滯后

打破課內外的界限，如何有效運用信息技術建模依然是當前數學課堂存在的問題。筆者曾經在聽六年級“圓錐的體積”課中就遇到過這樣的“尷尬”。教師在給學生講解圓錐體積是等底等高的圓柱體積的三分之一時，采用的是倒水實驗，但在實驗過程中損耗了一些水，導致實驗未能成功，部分學生開始起哄，現場氣氛十分尷尬。其實這位教師是想通過實際的操作，讓學生明白三分之一是怎么來的，不過人為因素導致的誤差反而造成了困擾。數學教學中像這樣的實物演化的模型不在少數，因而信息技術的引入就顯得迫在眉睫，它可以規避這樣的誤差，達到理想化的模型。此外，觀察筆者所在地區當前的課堂可以發現，教師在課堂中使用的信息技術較為基礎，常見的是用Powerpoint等演示文稿，部分地區裝備了“金陵微校”這樣的教學平臺，而像“GSP幾何畫板”這樣的軟件幾乎無人使用。信息技術的滯后對數學建模來說有著不小的影響，筆者認為，教育信息化的發展必然會對數學建模教學起到正向的促進作用，這一點在很多高校也得到了驗證，因此，小學階段要重視信息技術與數學建模的關聯性價值。

（四）建模評價方案單一

數學建模的結果最終是要回到真實情景中加以驗證的，因此模型的正確與否應成為評價的重要指標之一。但是，同一個情景可能存在不同的數學模型，比如：運算律中a－（b+c）和a－b－c雖然形式不同，但是都能夠解決同樣的問題，因此在評價建模結果的時候不能一概而論。小學階段除了要關注結果，更重要的是關注學生經歷建模過程時的表現，教師需要在建模的每一步給予學生及時的反饋，以幫助學生更好地形成模型素養。

三、全面解讀：信息技術在數學建模教學中的應用價值

教師在傳統的建模教學中幾乎看不到信息技術的影子。隨著教育信息化的飛速發展，教育裝備的不斷更新，信息技術與課堂的融合由淺入深，不僅可以解決技術上的難題，而且可以加深學生對知識的理解。小學階段的教學重點之一就是要處理好“抽象”與“直觀”的關系，而信息技術的可視化特點能夠很好地解決這一問題。小學數學課堂內容常分為“數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐”四大板塊，建模教學滲透在不同的板塊里，下面筆者將從這四大板塊簡述信息技術與建模教學的深度融合價值。

（一）“數與代數”：數形結合，化抽象為直觀

1. 數的認識

小學階段的“數與代數”主要包含“數與運算”“數量關系”兩個方面。“數”主要包括整數、小數、分數等，“運算”主要包括算法、算理等；“數量關系”主要是用數或符號表達數量之間的關系，常見的數量關系主要運用于加法模型和乘法模型。

廣義地看，教師可以把一個分數看作一個高度抽象的模型。以學生剛認識的1/2為例，它的引入在教材中是以一個蛋糕平均分成2塊來呈現的，被分出來的1/2塊蛋糕可以看成是這個分數的直觀模型（或實物模型），它既可以表示一個結果，也可以表示部分與整體的關系，但因分數本身過于抽象，所以不利于學生理解。當然，教師也不可能在實際教學中讓學生準備一個蛋糕分一分，因此，教師一般會讓學生在學習單上畫一畫（如圖3），這是數學表征的一種方式。這樣畫一畫雖然可以展現學生思考的過程，但卻難以展現分出的結果。若學生在平板上操作，則很容易地就把圓片一分為二，然后屏幕顯示分開后的蛋糕，從過程到結果，一目了然（如圖4）。

因此，教師需要在保留分數本質屬性的基礎上，把它具象化、直觀化，才能有助于學生感知。這一點也是新課標中強調的，教師既要處理好知識的直觀呈現方式，又要處理好“直觀”與“抽象”的關系。而利用信息技術就可以很好地達到這樣的效果。以筆者遇到的一道題為例：“一個分數的分子和分母都加上1，分數的大小不變。（ ?）（填×或√）”，單純解決這樣一個問題對于六年級的學生來說并非難事，他們可以采用下面的方式解答。

舉例子，所以填“×”。歸根結底，它本身就是一個＞的數學模型，但對于小學生來說，這樣的表達式太過抽象和復雜，分母和分子都處在變化之中。因此，筆者引入“GSP幾何畫板”軟件。這款軟件操作起來十分簡便，能夠快速構造圖形、函數圖像等。以大小相同的圓片為例，教師依次輸入分子和分母，會呈現出規律的結果（如圖5）。

從圖中可以清晰、直觀地看到隨著分子和分母“同時增加1”，涂色部分的面積在不斷變大，抽象的分數和直觀的圖像巧妙地結合在一起，做到了真正的“數形結合”，同時，學生經歷了這一完整的變化過程，更能感悟這一數學模型的規律價值。同樣的，屬于“數與代數”領域的還有對小數、百分數等這些數的認識與理解。例如，學生在學習小數后，形如0.80米所表示的含義、0.001這個小數的意義等抽象的問題都需要技術的參與，打破學生思維的壁壘，突破手工操作的困境，將數與形建立起聯系，助力學生的思維成長。

2. 數量關系

小學階段常見的模型分為加法模型和乘法模型，學生需要在具體情境中運用含有符號的式子解決問題。以乘法模型為例，教師可以在低年級的課堂中這樣引入乘法模型。

（1）趣味情景，引發思考。

動畫播放：天空下起了小雨，小水滴齊刷刷地落下來，形成了美麗的雨幕。老師用相機拍了一張照片，請大家欣賞。可是，有一些小水滴藏在了烏云的背后，有一些露在了外面，你能算出有多少小水滴在烏云外面嗎？（出示圖片，如圖6）

（2）深入交流，感知模型。

預設：2+2+2=6（加法）；3×2=6或2×3=6（乘法）。

談話：（出示圖7）調皮的烏云被風吹走一部分，又露出一些小水滴，你能根據這道乘法算式擺一擺嗎？（出示：4×7）明確：每行7個，有4行；每列4個，有7列。

（3）自主探索，應用模型。

（出示圖8）將全部的雨滴展示出來，讓學生像之前一樣用兩種方法在圖上表示算式。

借助課件的動畫演示和交互式白板的體驗，學生的思維從單一走向開闊。在學生初步掌握乘法模型后，課件的兩種不同呈現形式讓學生從兩種角度理解了乘法模型的含義。在最后自由框選小水滴的環節中，學生在數量關系的支撐下自由地探索不同的算式。

（二）“圖形與幾何”：動態演繹，從靜態到動態

小學階段“圖形與幾何”主要包括“圖形的認識與測量”和“圖形的位置與運動”兩大主題。相較于數的認識，圖形較為直觀、具象。從實際學情來看，學生從實際物體中抽象出幾何圖形比較輕松，但是對于理解圖形之間的關系，在某些圖形的特征的認識上則存在困難。

1. 圖形的認識

以蘇教版五年級上冊“三角形的面積”為例，本節課的難點之一就是理解和應用“蝴蝶模型”（如圖9）。簡單來說，就是在一個梯形內，連接對角線，△AOD的面積等于△BOC的面積，這也是小學階段五大“幾何模型”之一。

簡單分析這個模型可以發現，要想讓學生理解這個模型，應當從“特殊”走向“一般”，即將梯形的上底和下底向兩邊延展，得到兩條平行線，在平行線之間去思考三角形的面積關系。（出示圖10）引導學生思考：涂色部分的三角形和哪個三角形的面積相等？為什么？以BC為底，像這樣面積相等的三角形，你還能畫出多少？這些問題旨在引導學生思考：在這樣的兩條平行線之間畫出來的三角形都是等底等高的，所以面積相等。在畫三角形時利用交互式白板的優勢，學生可以盡情地畫三角形，方便且快捷，在此過程中等底等高的思想被一遍遍地強化，為后續研究做鋪墊。接著，利用交互式白板的功能，筆者將圖10中的點A設置為可以在平行線上自由拖動的點，將靜態的圖形轉變為動態的圖形，在形狀變化中讓學生思考不變的地方，即面積不變（高不變）。有了這樣的基礎，學生在理解圖9時就變得游刃有余，繼而可以嘗試在實際應用中借助這個模型去解決一些復雜的問題。如圖11，學生可以增添輔助線（虛線），將△ABC的面積轉變為大正方形面積的一半，然后解決問題。巧妙的轉化，激發了學生的學習熱情，讓學生感悟到用模型解決復雜問題的價值。

2. 圖形的位置

以蘇教版的“用數對確定位置”為例，圖形的位置，在生活中就是某一事物、建筑物等的位置，它在現實世界有著廣泛的應用。比如2008年北京奧運會開幕式上的“活字表演”令人印象深刻，教師可在課上播放相關視頻，引導學生思考：猜一猜，張藝謀導演是如何指揮這么多人完成美麗的圖案的？這樣的問題，極大地激發了學生的興趣。這是利用信息技術建立起了認知的沖突，學生在思考這一現象的同時，也在初步感知數學模型的存在。

（三）“統計與概率”：明晰意義，透數據思本質

“統計與概率”是小學階段的重要內容之一，它是學生用數學的眼光觀察世界的基礎，主要包括“數據分類”“數據的收集、整理與表達”“隨機現象發生的可能性”。其中，平均數是統計中一個重要的概念模型，在計算平均數的時候，往往采用“移多補少”的方法。針對這一點，教師可以采取直觀的圖示化表達，幫助學生進行數據分析。例如：在唱歌比賽中，四位評委打分見表2。

教師用直方圖呈現后，讓學生在屏幕上拖動，進行“移多補少”的操作。結果如圖12所示：

教師引導學生將統計表中的數據和移動完之后的數據進行對比，明確平均數是把原始數據進行“移多補少”處理后的結果，它是一個虛擬存在的數，能夠反映這組數據的整體水平。有了這樣直觀的體悟，學生對平均數背后的統計意義會產生更清晰的認知，強化了平均數的模型意義。

誠然，在計算平均數的時候還存在“先合再分”的方法，只是一般情況下，教師會把它當作計算方法進行講解。而有了技術的支撐，教師可以將這一過程再現，借助方格理解算式的意義（如圖13）。

教師將每一個評委的分數用不同顏色進行區分，把它們先合在一起，然后平均分給4個評委，每個評委得到的分數都不是自己原來的分數，而是平均分出來的結果——7分，它代表的是一組數據的整體水平。信息技術的支持，能夠幫助學生深層次地理解平均數這一模型的本質，讓學生在觀察、操作、比較中感悟“移多補少”和“先合后分”的不同。

（四）“綜合與實踐”：實踐檢驗，還建模以生活

“綜合與實踐”要求學生在真實情景中運用數學和其他學科的知識與方法解決真實的問題，是模型思想的集中體現。相較于其他領域的內容，“綜合與實踐”因其開放性、綜合性、自主性、應用性等，要求教師要格外關注學生的主體地位。利用信息技術打造的智慧課堂可以完全適應課程的要求。以蘇教版四年級下冊的“數字與信息”一課為例，筆者采用“金陵微校”作為搭建智慧課堂的平臺。

1. 課前推送，掌握學情

在執教“數字與信息”這節課之間，筆者利用“金陵微校”平臺給每一位學生發送了一份學習單，讓學生先了解自己和父母的身份證號碼、出生年月日，所在地的郵政編碼，家庭住址的編號等，收集生活中常見的數字信息。

2. 思維參與，理解編碼

課中，筆者和學生一起交流電話號碼這樣常見的數字號碼，然后即時發送火車票、車牌號、郵政編碼三張圖片，組織學生討論“你知道這些圖片上的數字和符號表示什么意思嗎”，引導學生思考數字編碼背后的意義。

3. 游戲體驗，玩轉編碼

在探究完身份證號碼所代表的信息后，筆者利用“金陵微校”中的軟件設計了“配對”游戲：將小明一家五口的身份證全部打亂，然后一鍵發送給學生，讓學生自己在平板上操作。被打亂的編碼給學生的認知帶來了沖突，由于有了前面正確的認識，學生可以在判斷中強化對編碼順序的理解，從而對整個編碼系統模型有了一個整體的感知。

4. 現實應用，完善編碼

最后，筆者設置了一個現實問題：學校新進了一批圖書，這是書單，如果你是圖書管理員，你打算怎么利用今天學習的知識對這些圖書進行編碼？說說你的理由。模型最終還是要回到現實生活中去檢驗，但是考慮到小學生的生活經驗不足，教師就鼓勵學生展開思考與設計，并同時將最終的結果和現實的結果進行對比即可。

五、結語與未來展望

建模在小學數學課程中無處不在，幾乎每一節課中都存在建模的學習活動。信息技術憑借自己的優勢可以優化建模情境、優化建模過程、突破建模難點、優化建模方式、促進建模評價等，而這些都是傳統課堂所無法實現的。同時，新課標（2022年版）中也指出“數學建模是一個綜合性的過程”，它的學習方式可以從“信息技術環境中的學習”展開探究。豐富的網絡資源會讓學生產生不同的學習體驗。而基于信息技術環境的學習方式則是更加深度的融合，它影響著建模學習的每一步。本文通過小學數學四大板塊中信息技術全面參與建模教學的實例分析其價值與策略，具有重要的、一定的普適意義。但針對如何從學生“學”的路徑分析建模的過程，筆者后續將繼續深入探索。

參考文獻：

［１］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（２０２２年版）［Ｍ］. 北京：北京師范大學出版社，２０２２.

［２］ 張奠宙. 小學數學研究［Ｍ］. 北京：高等教育出版社，２００９.

［３］ 徐利治. 數學方法論選講［Ｍ］.武漢：華中理工大學出版社，２００１.

［４］ 張欽.基于建模思想的小學數學教學設計研究［Ｄ］. 淮北師范大學，２０１５.