基于PSO-Elman 神經網絡BDS 導航衛星鐘差預報

王井利，佟曉宇，張梅

(1.沈陽建筑大學交通與測繪工程學院,沈陽 110168；2.宣化科技職業學院,河北 張家口 075100)

0 引言

導航定位系統進行定位的關鍵是“時間”因素的測量.星載原子鐘是星上時間基準，其與地面控制站的鐘面差值即衛星鐘差，鐘差精度是影響其服務能力的重要因素之一[1].在全球多導航系統并存的情況下，我國自主研發了北斗衛星導航系統(BDS)，其衛星鐘差預報的精度和穩定性備受關注.由國際GNSS服務(IGS)提供的精密鐘差產品精度高,但是其產品的發布需要延遲12 至18天，無法用于實時定位[2].因此，如何提高短期鐘差預報精度以滿足實時定位的要求成為該類研究的重點[3].

目前，關于鐘差預報建模的問題，國內外學者進行了相關研究，并取得了大量成果.鐘差預報模型的種類有很多，常用的有二次多項式(QP)模型[4]、灰色(GM)模型[5]、附加周期項多項式(SA)模型[6]、小波神經網絡(WNN)模型[7]、自回歸滑動平均(ARMA)模型[8]等.由于星載原子鐘的類型不同、受外在因素影響較大，不同的模型在鐘差預報時預測結果具有差異，線性模型很難為不同類型的衛星提供高精度的預測結果.針對此類問題，文獻[9]分析了北斗三號衛星導航系統(BDS-3)不同種類衛星鐘的精度和穩定度，采用四種模型對不同原子鐘下的精度進行比較，為BDS-3 鐘差預報建模提供了有利的參考.文獻[10]針對衛星鐘差精細化建模問題，提出了將具有記憶反饋功能的Elman 神經網絡用于鐘差預報中，并驗證了該想法的可行性；但是該模型在網絡訓練的過程中容易出現局部最優解的問題影響預測結果.文獻[11]針對北斗鐘差預報建模問題，提出一種依據單一模型均方誤差經典線性加權進行多個模型組合預報的方法，解決了單一模型在不同情況下受干擾因素影響從而導致預測結果出現明顯差異的問題；但是該方法模型權重設置為固定值，隨著時間累計單一模型的誤差累計對預報結果影響較大.文獻[12]提出了一種能夠實時擬合和將泛函網絡和多項式結合預報鐘差的方法，并通過實驗驗證了該方法精度的可靠性；但是其模型的參數選取依賴于人工經驗，影響了預測精度.文獻[13]針對傳統預報模型的缺點，提出了一種基于北斗二號衛星導航系統(BDS-2)、BDS-3 聯合估計的超快速衛星鐘差預報優化策略；對分析中心北斗鐘差產品精細化有重大意義；但是依據新策略建模提升的預測精度有限.

常用的傳統預報模型受模型階數、預測時長、鐘差數據等因素影響較大，而神經網絡結構不穩定、泛化能力差，容易出現過擬合導致局部最優.針對此類問題本文提出一種基于粒子群優化(PSO)算法優化Elman 神經網絡的鐘差預報模型來實現高精度的導航衛星鐘差預報.

1 鐘差數據預處理與三種傳統預報模型

1.1 鐘差數據的預處理

在武漢大學衛星導航定位技術研究中心(WHU)下載的精密鐘差產品為衛星的相位數據，該類型數據呈整體遞增或者遞減的線性規律.原始衛星鐘差相位數據可直接用于導航、定位和授時(PNT)服務，但相位數據的相對數量級較大，不利于鐘跳、粗差等異常值的識別及剔除，因此需要對相位數據進行預處理工作[14].首先相位數據可以通過相鄰歷元做一次差轉換為頻率數據，轉換后的頻率數據整體呈非線性規律，容易探測出異常值.然后用相應的方法剔除不同異常值后再恢復成相位數據.完成預處理之后的相位數據用于鐘差預報可有效提高鐘差預報的精度.

本文采取的預處理流程為中位數偏差(MAD)抗差估計法探測異常值[15]，再采用分段線性插值的方法進行內插還原異常點.其中MAD 表達形式為

式中：yi為衛星頻率數據；m為頻率數據序列的中間數.

求得MAD 之后，將頻率數據的中間數m與N倍的MAD 相加，然后與衛星的頻率數據yi的絕對值相比較，從而探測出異常值的位置(本文N值取經驗值3).

1.2 常用的三種傳統預報模型

1.2.1 QP 模型

QP 模型衛星鐘差預報表達式為

式中：x為預測鐘差；i=(1，2，3，···，n)；a0、a1、a2分別為參考時刻衛星的相位、頻偏和頻漂；t0為衛星鐘差的參考時刻；ε為殘差.

1.2.2 SA 模型

SA 模型又稱作附加周期項的QP 模型，是指在QP 模型的基礎上考慮周期項的鐘差預報模型，其數學表達式為

式中：a0、a1、a2與ε所代表的含義與式(2)中相同；n為主要周期函數的個數；Ak、fk、φk分別為對應周期項中的振幅、頻率和相位.

與QP 相同，多個鐘差序列經過最小二乘法求得參數的最或然值，并將其反帶入式(3)即可進行鐘差預報.SA 模型考慮了周期性變化對預報模型的影響，提高了其短期預報精度，模型結構相對復雜.但是模型主體仍是QP，也相應繼承其模型隨預報時長的增加其預報結果的準確度整體呈下滑趨勢的缺點.

1.2.3 GM 模型

GM 模型的鐘差預報表達式為

式中：k=(1，2，···，n)；a和u分別為發展系數和灰色作用量，是一個常數參數.多個鐘差序列經過最小二乘法求得參數的最或然值，并將其反帶入式(4)即可進行鐘差預報.GM 模型因指數參數影響，參與的擬合歷元數量嚴重影響預測精度，預測結果差異過大，易陷入局部最優的困局中.

2 PSO-Elman 模型基本原理

2.1 Elman 神經網絡

神經網絡在處理分析非線性時間序列的擬合和預測的問題上具有顯性優勢[16].Elman 神經網絡的網絡結構是將BP 神經網絡的隱藏層轉接到輸出層的過程中加置一個承接層，接收并記錄此刻迭代過程中隱藏層的輸出結果.在某一次迭代過程中，參考系數選用上一次隱藏層的反饋信息，并將上一次的隱藏層輸出值與此次輸入層值按權屬進入此次隱藏層中，當輸出值與期望值間差值大于設定目標時通過上述過程反向調整網絡進而逼近期望輸出值，使網絡訓練具有局部的反饋性和動態短期記憶特征[17].這樣的網絡架構使得Elman 神經網絡具備良好的時序特征和短期記憶能力，在鐘差預報這種時間序列分析問題上有優秀的適配性.

Elman 神經網絡通過輸入層神經元傳入信號，同時采用線性加權的方式經過隱藏層與承接層的計算得出結果后傳輸到輸出層的神經元.其表達式為：

式中：z為隱藏層的輸出值；k為輸入層函數序列的標數；f為隱藏層傳輸函數；x為輸入值；w1為輸入層與隱含層間的權值；w2為隱含層與承接層的權值；w3為隱含層至輸出層的權值；zc為承接層輸出值；yk為輸出層輸出值；g為隱含層至輸出層的傳輸函數.

激活函數使用sigmoid 函數，其表達式為

2.2 PSO 算法

PSO 算法通過模擬魚群和鳥類覓食行為，是一種群體協作隨機搜索優化、尋找單目標問題的最優解的智能算法[18-19].PSO 算法中，各個粒子都是搜索空間中沒有體積與質量概念的獨立解，并且有自己的位置和速度.根據搜索空間中粒子的位置和速度，隨機初始化種群粒子，使用適應函數將每個粒子連續聚合到其自身的歷史最佳位置.全局粒子群進化公式如下：

式中：d為參數尺寸，d=1,2,···，n；c為加速系數；和分別為第i個粒子的位置和速度；pbetsi為第i粒子適應值；gbest為全局適應值；w為權值；r為[0，1]區間內隨機數.

對于局部PSO 算法，每個粒子根據其和相鄰粒子的歷史最佳位置pbest 調整其速度.局部粒子群的速度更新公式為

PSO 算法具備種群初始化隨機的特點，解空間中的粒子都具有自己的屬性(位置、速度)和適應值.粒子之間具備記憶、追隨的特性，在解空間內隨當前最優解搜索更新，并將適應值信息單向提供給其他粒子，使得所有的粒子能夠快速地收斂于最優解.

2.3 PSO 算法優化Elman 神經網絡的鐘差建模

Elman 神經網絡是通過反復訓練模型來調節網絡運算中各矩陣的權值和閾值，網絡連接權重將誤差平方和作為指標，反向傳播反饋修正，使得輸出結果愈發趨近于真實值.但是初始參數設置時涉及權值和閾值的選取會嚴重影響網絡運算的收斂和精度，嚴重時會使網絡的輸出結果陷入局部最優，失去訓練的意義[20].針對于Elman 神經網絡的初始參數設置導致算法輸出結果異常的情況，本文提出采用PSO 算法得到的初始參數賦予給神經網絡，從而減小上述情況對算法結果的影響，大大提高了鐘差預報的精準度.

通常網絡中輸出層的神經元個數與輸出結果的類型相同.在滑動窗口模式下的單次鐘差預報的計算最后輸出的結果為某一時刻的鐘差值，設置輸出層個數為1.在樣本總量不變的前提下，上一次計算出的鐘差值也會參與到下一次的預報中，從而達到連續的多歷元衛星鐘差預報.

神經網絡中的隱藏層神經元的個數對后續結果精度的影響至關重要.隱藏層神經元個數較多，網絡的整體結構會更加穩定，但網絡訓練的收斂速度將大大增加，時間復雜度過高.隱藏層神經元個數較少，則網絡結構簡單，計算速度較快，但模型的預報精度降低[21].在保證模型預報精度的前提下，選擇更加合適神經網絡的架構將有利于后續工作的進行.為獲取最佳的網絡結構，本文選擇2021 年9 月21 日WHU分析中心的精密鐘差產品進行模擬實驗，選自于C46號衛星分別在不同的神經元個數時進行12 h 的鐘差預報.圖1 為1～12 個神經元個數各自的均方根誤差(RMSE)值變化情況.

圖1 隱藏層不同個數神經元時的鐘差預報RMSE

由圖1 可知，隱藏層神經元數為3 時鐘差預報精度最高，結構最為穩定.故本文采用的隱藏層神經元個數為3.

利用PSO 算法和Elman 神經網絡結合進行鐘差預報建模，得到PSO-Elman 模型具體步驟為：

1)將精密鐘差產品預處理，對其中的異常值進行修正.將參與建模的鐘差數據進行一次差分后設置為樣品集，并將其進行歸一化處理.

2)根據已規劃好的的網絡拓撲結構，定義算法中的迭代次數、加速系數、種群規模、速度與位移的最大和最小值、適應函數.本文中選取的適應函數為訓練樣本的預測值與真實值的均方根誤差(RMSE)，表達式為

式中：m為樣本個數；為真實值；yi為預測值.

3)初始化.在搜索空間內的個體粒子，其本身屬性(速度、位置)都是隨機產生的.粒子所在的當前位置即是自身的個體極值(即個體極值點的適應度值).當前具有所有個體極值最優解的粒子序號設置為全局極值，并將全局極值點設置為該粒子的當前位置.

4)評估個體粒子適應值.計算各粒子的適應度值，若某個粒子當前適應值比之前記錄的該粒子最優值更好，則更新pbest.若某個粒子當前適應值比之前記錄的全局最優解更佳，則更新gbest.

5)粒子群的更新.針對每一個粒子重復步驟3的速度與位置的更新.

6)檢驗是否符合輸出標準.如果當前迭代次數達到設定的最大值或結果在標準范圍誤差內時，停止迭代，輸出最優解.否則重復步驟4 和步驟5 過程直至滿足條件位置.

7)將步驟6 算法中計算得出的結果賦予給神經網絡權值和閾值的初始參數并開始訓練，對鐘差數據進行反歸一化運算，驗證樣本中的預報值與真實值間的擬合差.

8)通過上述步驟訓練完成的網絡進行預報得出鐘差序列結果，并逐步相加將其還原即可求得鐘差預測結果.

3 預報實驗分析

為了驗證本文提出的PSO-Elman 模型的可行性，采用WHU 分析中心提供的30 s采樣間隔的精密鐘差數據進行模擬實驗分析.針對不同預報時長，分別使用4 種模型進行1 h、3 h、6 h、12 h 的鐘差預報實驗.本次實驗采用2021 年9 月21 日的鐘差數據為例分析.在預報實驗中使用RMSE 和極差(Range)作為評判標準，計算公式為：

式中：ti為預報值；為WHU 精密鐘差數據；n為數據個數.

3.1 實驗1

為了對比PSO-Elman 模型與Elman 鐘差預報模型的預報性能，以C46 號衛星為例.兩種模型采用已確定好的相同網絡結構，以此次該衛星前12 h 作為樣本數據進行建模預報后12 h 的衛星鐘差，分別進行10 次獨立預報實驗.兩種模型預測結果的RMSE值如圖2 所示.

圖2 10 次獨立實驗中兩種模型預測的RMSE

由圖2 可知，Elman 神經網絡模型與PSO-Elman模型在針對一組數據進行多次實驗后，所得結果無明顯波動，證明了神經網絡在鐘差預報實驗中的穩定性.10 次實驗兩組模型RMSE 的平均值分別為0.94ns和0.22 ns，表明經過PSO 算法優化Elman 神經網絡后，克服了Elman 神經網絡模型的局限性，預測精度提高了76.6%.

3.2 實驗2

為了進一步驗證PSO-Elman 模型不同預測時長時的預報性能，與三種傳統鐘差預報模型進行對比分析.圖3 為C46 號衛星預報誤差曲線.由圖3 可知：PSO-Elman 模型預報效果在0 值左右；QP 模型與SA 模型預報效果相仿，并且這三個模型在0～200 歷元內預報性能相當，但在其之后預報誤差隨著預報時長的增加整體呈遞增趨勢；GM 模型從0 時就具備一定量的偏差值，并且之后呈現顯著遞增.從整體趨勢上不難看出PSO-Elman 模型預測精度更高，隨預報時長增加所受影響相較于其他模型變化幅度更小.

圖3 C46 號衛星12 h 預報誤差曲線

由表1 可知：在1h 預報時長的實驗中PSO-Elman模型相對于QP、SA、GM 模型的預報精度分別提高90.0%、22.5%、99.7%，穩定度比QP、GM 模型提高了84.1%、95.8%，低于SA 模型58.1%，但處于一個量級；在3 h 預報時長的實驗中其預報精度分別提高74.3%、47.20%、99.2%，穩定度分別提高81.9%、2.7%、97.8%；在6 h 預報時長的實驗中其預報精度分別提高17.5%、56.0%、98.3%，穩定度比QP、GM 模型分別提高28.3%、95.6%，低于SA 模型9.4%，但處于同一量級；在12 h 預報時長的實驗中其預報精度分別提高87.1%、89.3%、97.8%，穩定度分別提高77.5%、79.2%、95.6%.其中，在1 h 實驗中SA 模型預測的初始值存在負方向偏差，極值偏小.鐘差數據具有周期性變化，在6 h 預報時曲線變化與PSO-Elman 模型相仿，但隨著預測時長增加整體發散，極值變大.在C46 號衛星的鐘差預報中4 個不同預報時長的實驗結果來看，PSO-Elman 模型RMSE 值對比于其他模型預報結果更加精準；Range 值表示整體誤差范圍內的最大絕對值，其數值越低則表明真值與預測值間的誤差浮動區間越小且更為穩定.

表1 C46 號衛星鐘差預報結果統計 ns

3.3 實驗3

對PSO-Elman 模型在不同原子鐘類型情況下的預報性能進行分析對比.圖4 為C19 號衛星12 h 預報誤差曲線.在C19 衛星預報時，四種模型預報誤差具備相似但不相同的變化趨勢：PSO-Elman 模型與GM 模型在整體1 440 歷元期間變化曲線大致吻合，但隨著預測時長的遞增GM 模型的精度變化略低于PSO-Elman；SA 模型變化趨勢對比之前兩者稍有遜色，在50 歷元后呈負向遞增；QP 模型在0～50 歷元時尚與其余模型相當，但之后隨著預測時長的增加整體呈現顯著的負向遞增.

圖4 C19 號衛星12 h 預報誤差曲線

圖5 為C38 號衛星誤差曲線.在C38 衛星預報時，四種模型呈現不同的變化趨勢：GM 模型在初始預報時存在偏差值，不過整個預報過程中浮動區間極小；SA 模型在整個預報過程中隨著預報時長的增加呈遞增趨勢；QP 模型時與PSO-Elman 模型在初始時刻預測誤差極其趨近于0 值，但隨著預測時長的增加與SA 模型類似且呈負向遞增；PSO-Elman 模型基本在0 值范圍內浮動，變化極小，表明該模型在此次預報實驗中預測值與真值誤差精度更高.

圖5 C38 號衛星12 h 預報誤差曲線

C19 號衛星為BDS-2 衛星，搭載的星載原子種類型為銣鐘；C38 號衛星為BDS-3 衛星，搭載的星載原子種類型為氫鐘；C46 號衛星為BDS-3 衛星，搭載的星載原子種類型為新型銣鐘.

結合C19 與C46 號衛星情況分析，不同代的銣鐘產品各個模型的預報性能情況不同：GM 模型BDS-2 銣鐘的預測結果顯然比在BDS-3 衛星新型銣鐘效果更好；QP 模型在BDS-3 衛星效果更勝于BDS-2；SA 模型在新型BDS-3 銣鐘上預測效果與QP 模型相仿，但在BDS-2 銣鐘預測性能上比QP 模型效果更好，遜色于其他兩者模型.

結合C38 與C46 號衛星情況分析，在BDS-3 衛星中，不同星載原子鐘各個預報模型效果亦有差異：GM 模型在星載原子鐘為氫鐘時雖然初始值略有偏差，但是整體預測結果及穩定性上相較于銣鐘預測性能更佳；QP 模型和SA 模型在不同原子鐘上性能效果相仿，在星載原子鐘為氫鐘時隨著預測時長增加呈現正負向遞增，在銣鐘情況下雖然也呈遞增趨勢，但波動幅度較比前者更為穩定且差異值更小，效果更佳.

POS-Elman 模型在BDS-3 的不同原子鐘上所表現的情況相同，浮動區間基本在0 值內且隨著預測時長增加所受影響極小；在BDS-2 銣鐘情況時，區間浮動范圍比其他情況下更為明顯，但誤差值亦在0 值左右波動.

由表2 可知，在C19 號衛星的短期鐘差預報中PSO-Elman 模型對比QP、SA、GM 模型，在12 h 預報過程中其預報精度分別提高91.5%、75.9%、93.8%，穩定度分別提高88.5%、64.9%、22.7%.C38 號衛星的短期鐘差預報中12 h 預報過程中其預報精度分別提高93.6%、87.5%、53.1%，穩定度分別提高90.0%、84.8%，但相較于GM 模型穩定度稍遜色10%.綜合3 顆衛星對比于三種常用模型的優化精度平均提高90.7%、84.2%、81.6%，穩定度平均提高85.3%、76.3%、36.1%.從上述結果來看，PSO-Elman 模型在不同星載原子類型的情況下精確度更高、穩定性更強、預測誤差波動間更小，所表現的預報性能更優.

表2 3 顆衛星四種模型鐘差預報結果統計 ns

4 結論

本文提出的采用PSO 算法優化Elman 神經網絡的PSO-Elman 模型具有較強的自適應性，通過預報實驗得出：

1)PSO 算法對Elman 神經網絡的優化效果明顯且精度提高了76.6%，且經過多次實驗其結果差異不大，避免了偶然性.

2)經過4 次不同預測時長的模擬實驗，在1～6 h除了灰色模型外都能達到亞納秒級，在1～12 h 其余模型能達到納秒級，而PSO-Elman 模型依舊能達到亞納秒級.隨著預測時長的增加傳統模型擬合誤差越來越大，PSO-Elman 模型受到預測時長增加影響極小，且預測精度具有顯著優勢.

3)根據星載原子鐘種類不同的衛星預報實驗，QP 模型與SA 模型更適用于BDS-2 的銣鐘衛星；GM模型適用于BDS-3 的新型銣鐘和氫鐘；POS-Elman模型在這三種情況下皆適用且預測結果精度更高.

綜上所述，相較于常用的三種傳統算法模型，PSO-Elman 模型在不同情況下的鐘差預報均能保證穩定度的同時，精確度更有顯著提高，適用性更廣泛，表明了此方法在短期鐘差預報的可行性.