實踐：學具操作的時機和形式的選擇

倪志敏

［摘? 要］ 學具操作在實踐操作中必不可少。學具操作要選擇恰當的時機，要以適切的形式呈現，這樣學生在操作的過程中才能深刻理解數學知識，獲得行為操作的經驗，積累基本的數學活動經驗。

［關鍵詞］ 學具操作;實踐活動;數學經驗

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：學生的學習應是一個主動的過程，認真聽講、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等是學習數學的重要方式［1］。其中，讓學生動手實踐是期望學生在行為操作的過程中學會知識，獲得行為操作的經驗［2］。學具是學生進行行為操作的必備工具，即使在信息技術迅猛發展的今天，依然有不可替代的作用。心理學研究結果告訴人們：動手操作的記憶遠遠勝于視覺記憶。教師應重視學具操作教學，讓學生深刻理解數學內容，獲得行為操作的數學活動的經驗。

一、選擇恰當的時機

（一）學具操作，深化知識理解——紙上得來終覺淺

在“圓的認識”中，用圓規畫圓是教學要點。圓規在課堂上雖然是首次出現，但學生都認識。畫圓的方法有很多種，教師教學時可以利用學生好奇的心理，在學生躍躍欲試之時讓其嘗試用多種方式畫圓，并通過畫圓感知圓的特征。利用硬幣等有圓面的物體“拓圓”，能讓學生感知圓是一個由曲線圍成的圖形。利用圓規畫圓，不僅能讓學生感知圓的上述特征，還能感知圓的基本概念，比如圓心、半徑、直徑等概念。

師：同學們互相看一看，是否都用圓規畫出了圓？（出示用圓規畫圓失敗的作品）這是什么原因呢？

生：鉛筆尖與針尖之間的距離不能變。

師：針尖的這個點就是圓心。那你能在圓內用一條線段把鉛筆尖與針尖之間的距離畫出來嗎？說說你是怎樣畫的？再比較一下你們所畫的線段有什么相同之處？

生：都是圓內的線段，線段的一個端點在圓心，另一個端點在圓上。

師：連接圓心和圓上任意一點的線段就是半徑。

認識圓規和用圓規在紙上畫圓所帶給學生的體驗，可以用“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”來概括。用圓規畫圓操作安排在課始，既滿足了學生對于圓規的好奇心，又讓學生在動手實踐和比較中對圓的半徑的共性特征進行了內化。

（二）學具操作，溯源知識源頭——問渠那得清如許

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在課程實施中指出：一方面了解數學知識的產生與來源、結構與關聯、價值與意義……另一方面強化對數學本質的理解，關注數學概念的現實背景，引導學生從數學概念、原理及法則之間的聯系出發，建立起有意義的知識結構［1］。因此，在教學過程中，教師應關注知識的“生長點”，讓學生不僅要“知其然”，更要“知其所以然”。在“角的度量”一課中，教師一般都是先出示量角器，讓學生認識量角器，然后講解量角器上刻度線、中心點、“點對點，邊對邊”以及“順時針測量看外圈，逆時針測量看內圈”等知識。

但筆者認為，如果學生沒有理解量角器上有兩圈刻度等構造的原理，那么量角器作為最實用、最優越的測量工具的價值就無從體現。因此，筆者建議在量角器教學時，教師應緩緩引入，由表及里，尋根溯源。對于大多數學生而言，理解量角的本質（把量角器上的角和要量的角重合）尚且有難度，更不要說理解量角器的兩圈刻度。在教學中，筆者充分利用信息技術，動態呈現量角器的“誕生過程”：首先讓學生體悟用1°的角去度量大角的不方便，所以量角器上就有許多1°的角。有幾個1°的角組成，這個角就是幾度；然后讓學生觀察這些1°的角頂點都是同一個頂點（量角器的中心點），角的兩條邊就是量角器上的刻度線。至此，只有一圈刻度的量角器便出現了。為了便于測量，筆者用透明膠片做成了只有一圈刻度（外圈）的量角器，讓學生用這種量角器嘗試進行實際測量，在度量過程中學生深刻感受到這種量角器的弊端。于是就有學生提出可以再設計一個有不同方向刻度的量角器，也有學生說用兩個量角器測量，但這都非常麻煩。這時，有學生提出量角器上是否可以增加一圈刻度（內圈），每一個對應的內外圈度數之和是180°。這個建議贏得全班學生的掌聲贊同。最后筆者借助課件演示分別從兩個方向的0刻度線開始按順時針、逆時針動態演示180個1°的角所形成的外圈刻度和內圈刻度。至此，學生終于深刻理解量角器上有內外兩圈刻度的合理性。

（三）學具操作，滿足明理需要——柳暗花明又一村

在一次青年教師賽課活動中，在教學“兩位數除以一位數（首位有余數）”一課時，所有參賽教師都讓學生借助分學具小棒來理解算理。但在豎式計算中，學生的錯誤率仍然比較高。因此，筆者存在疑問：是否學生只要進行了學具操作，那么就能獲得深刻的行為操作經驗，就一定能理解算理和算法嗎？

“兩位數除以一位數（首位有余數）”一課教學中，的確需要借助小棒理解算理和探討算法，但不能與“兩位數除以一位數（首位沒有余數）”的學具操作流程雷同。因為在學生心里，兩位數除以一位數已經學過了，本課時學的和以前學的知識在形式上是一樣的。先進行小棒操作，反而讓學生覺得多此一舉。

因此，筆者在執教這一課時，先讓學生嘗試用豎式計算52÷2。在巡視過程中，筆者發現了以下3種豎式計算并及時在課堂上呈現給學生。

（豎式1） （豎式2） （豎式3）

師：對這3種豎式計算方法，同學們有什么方法來驗算一下哪一種答案是正確的？

生：用商和除數相乘，看是否等于被除數。

師：好方法！21×2=42，不等于被除數52，所以商是21不對。26×2=52，所以商26一定是對的。那這位同學的豎式（指著豎式3），這樣列對嗎？

（一問激起千層浪，學生們紛紛表示不正確，置疑怎么這樣列豎式）

師：為什么這樣列豎式呢？還是請他自己來說一說。

生：我先用十位上的5除以2，商是“2個十”，還余下“1個十”，除以2，等于5。最后用2除以2，商就是1。

師：那你為什么把5和1都寫在了個位上？

生：因為5是一位數，1也是一位數，都應該寫在個位。但我不知道該怎么寫，所以就寫成這樣了。商應該是26。（學生說完，有點委屈地看著筆者）

師：這樣寫豎式，可不可以？為什么52÷2的商是26，而不是21呢？同學們，對于這些問題，我們其實可以請我們學習中的一位老朋友來幫忙。（學生齊聲說小棒）

筆者出示5捆2根小棒，讓學生分一分。在分小棒的過程中，學生結合豎式1發現，商21的錯誤在于5捆小棒平均分成2份后，剩下的1捆小棒根本就沒有再平均分。結合豎式3，學生還發現了1捆小棒可以和2根小棒直接合成12根小棒，平均分成2份后，每份是6根。因此，先分1捆（10根）小棒，再分2根小棒，在算理上雖然是對的，但在方法上并不簡便，把一步變成了兩步，所以要把豎式優化成豎式2的寫法。

學生計算錯誤率高，究其原因，當然不是學具小棒惹的“禍”，而在于學具提供的時機不符合學生的需求。“為操作而操作”，學生借助小棒操作理解算理的需求未被激發，那這樣借助小棒操作的實際效能當然就發揮不到位。教學時可以讓學生先試做，當出現豎式計算方法失誤時再提供小棒操作。尤其是學生出現豎式3的失誤時利用小棒的操作，筆者有一種“無心插柳柳成蔭”的感覺，因為它體現了“兩位數除以一位數（首位有余數）”除法豎式的“生長過程”。

二、學具呈現形式的選擇

筆者認為，在數學教學中，由學具操作獲得的知識內容與學具呈現的形式存在著辯證統一的關系。為了讓學生在學具操作中獲得深刻的知識內容和活動體驗，教師可以將學具的呈現形式做一些適當的變形和融合，以便更好地為知識內容的教學服務。

（一）“散”學具，“聚”思維——形散而神不散

“表面涂色的正方體”是六年級上冊中的一節探索規律的課。多數教師在教學時，都是分別出示表面涂色的2×2×2、3×3×3、4×4×4、5×5×5正方體學具，讓學生先數再引導其發現規律。在發現規律的同時，學生才感悟到原來不同涂色面的小正方體的個數是由小正方體在大正方體上的位置所決定的，除了數，還可以算。既然“位置”如此重要，因此在教學中，筆者將原來的一個表面涂色的3×3×3的正方體拆成了27個小正方體，改變形式提供給學生操作。

師：在生活中被譽為指尖“舞蹈”的魔方復原游戲，深受同學們的喜愛。今天，我帶來了一個3×3×3的正方體，把它的6個面上都涂色，再切成若干個同樣大的小正方體，顯然這些小正方體的6個面上不會都涂色。如果把這個正方體打亂，你們能將正方體復原嗎？下面我們進行分組比賽：比一比，哪組的動手能力最強？

（學生進行復原操作，但沒有一個小組能在2分鐘內完成復原）

師：復原過程中，同學們有什么發現或疑惑嗎？

生1：小正方體涂色面的情況比較復雜，有3面涂色、2面涂色、1面涂色、沒有涂色等四種情況。

生2：不知道把小正方體該放在大正方體的什么位置上？

師（提問）：在剛才的復原操作中，你們能感覺到3面、2面、1面、沒有涂色的小正方體，可能在大正方體的什么位置上？我們可以繼續研究。

當學生初步發現規律后，筆者又安排了一次2分鐘復原正方體的游戲，在10個小組中有7個小組順利完成了復原任務。

學具正方體改變呈現形式，由“散”到“聚”。學生在復原游戲中發現“形散而神不散”的大正方體中，不同涂色面的小正方體的位置和個數都是確定的、有規律的。

（二）“融”學具，“揭”本質——山外青山樓外樓

鄭毓信教授曾說：“我們的學生一直在做，一直在算，一直在動手，但就是不想！”因此，在教學中，教師要正確處理“動手”與“動腦”之間的關系，要由單純地“動手”向“動腦”發展。幾年前，在揚州市開展的“百堂好課”賽課活動中，一節“長方體和正方體的認識”觀摩課給筆者留下了深刻的印象：授課教師讓學生利用橡皮泥和小棒制作長方體框架模型，學生在制作過程中發現成功制作長方體的關鍵在于如何選擇小棒（比如小棒的長度以及滿足長方體的相對的棱長度相等）。學生“做”長方體，不僅積累了制作長方體框架的操作經驗，更是從本質上理解了長方體面、棱、頂點的特征。2017年任敏龍老師發表了論文《提取關鍵特征，展開空間推理》，任老師在教學“長方體和正方體認識”一課時，也是從操作觀察開始教學，不過任老師將“操作”安排到課前進行。課中，任老師充分運用多媒體，通過對不同立體圖形特征的比較提取長方體的關鍵特征，由此推理得出其他特征；還通過“面動成體”動畫演示，分析長方形中面、邊、頂點運動形成的圖形，推導出長方體的特征。從“做”長方體到融合信息技術“面動成體”的動畫演示，從“動手”到“動腦”，學生從多重視角認識了長方體的特征，促進了自身對長方體的本質理解。因此，“利用數學專用軟件等教學工具開展數學實驗，將抽象的數學知識直觀化，能夠促進學生對數學概念的理解和數學知識的建構”［１］。學具操作和多媒體技術的融合，真給人一種“山外青山樓外樓”的感覺！

史寧中教授在《數學基本思想與教學》一書中提出：“我們必須清楚，世界上有很多東西是不可傳遞的，只能靠親身經歷，比如智慧。智慧并不完全依賴知識的多少，而依賴知識的運用、依賴經驗，你只能讓學生在實際操作中磨煉，自己去感悟，去積累去反思。”［3］因此，在學具操作的教學中要選擇恰當的時機，同時學具操作也要以適切的形式呈現，才能幫助學生深刻理解知識內容，積累基本的數學活動經驗。

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（２０２２年版）［S］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］ 王林. 小學數學課程標準研究與實踐［Ｍ］. 南京：江蘇教育出版社，２０１１.

［３］ 史寧中. 數學基本思想與教學［Ｍ］.北京：商務印書館，２０１８.