解直角三角形在解決實際問題中的應用

黃金珠

【摘要】數學來源于生活又應用于生活，把課本知識與實際問題結合起來是理論聯系實際的途徑之一，是學生在課本知識學習的過程中形成應用數學意識途徑之一.利用直角三角形的相關知識解決生活中的實際問題，是理論聯系實際的重要內容，考查了學生的抽象能力.其解題關鍵在于抽象出幾何圖形，再通過有關三角函數知識找到解決方案，列出相關的等式，最終求出答案.本文列舉解直角三角形應用于解決實際問題的常見案例，分析解題思路，并對解題的一般步驟做出總結，破解其解題過程，幫助學生在運用直角三角形解決實際問題時找準切入點，從容作答.

【關鍵詞】初中幾何；三角形；解題教學

1解直角三角形在實際問題中的常見概念

1.1仰角、俯角

仰角和俯角是觀察者的視線相對于觀察者的水平線所形成的夾角，“上仰下俯”，即視線高于水平線所形成的角叫仰角，視線低于水平線所形成的角叫俯角，如圖1.

1.2方向角

以觀測點O為中心，過觀測點作一條水平線（一般向右為東，向左為西）和一條鉛垂線（一般向上為北，向下為南），表示南北方向的鉛垂線，與觀測點到目的地之間的連線所形成的夾角叫做方向角，如圖2.

1.3坡角、坡度

水平面與坡面所形成的夾角α叫坡角，而坡度就是坡面的鉛直高度h除以坡面的水平寬度l，如圖3.

2直角三角形解實際問題的一般步驟

直角三角形解實際問題的思路一般是首先將實際問題轉化為數學問題，對數學問題進行求解，得出的數學問題解即為實際問題解.因此解決實際問題的一般步驟如下：

（1）理解題干中出現的數學名稱的概念和意義，比如前面提及的仰角俯角、坡角坡度等，然后根據題干的問題描述，畫出對應的平面圖形，將實際問題轉化為數學問題，建立數學模型；

（2）將轉化的數學問題與三角形的邊和角建立聯系，并運用直角三角形的邊角關系，構造等式，解答問題.（對于銳角或鈍角的非直角三角形，可先采用輔助線法，將它們進行分割或補充，構造出直角三角形或矩形）；

（3）尋找出與解題有關的直角三角形，并解這些三角形，最后得到答案.

3直角三角形解實際問題例題解析

3.1運用解直角三角形解決視角相關問題

例1如圖4所示，某測量隊為測量小區內其中一棟居民樓的高度，設該居民樓最高點為點A，測量隊在居民樓附近一個小超市的樓頂D處測得A處的仰角為45°，底部B處的俯角為22°.已知小超市的高CD約為61米，請計算居民樓的高AB.（結果精確到1米；參考數據：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）

分析實際問題中利用三角函數求實際問題中視角的度數時應先根據題意畫出直角三角形，并根據已知條件求出這個角的三角函數值，再求出角的度數.而已知視角的度數求邊長時，應先根據題意畫出直角三角形，求出這個角的三角函數值，再利用三角函數的定義求得相應邊長.

解如圖4所示，過點D作DF⊥AB于點F，

有四邊形CDFB是矩形，

則CD=BF=61，

在Rt△ADF中，∠AFD=90°，∠ADF=45°，

所以AF=DF，

在Rt△DFB中，

tan22°=BFDF，

所以DF=BFtan22°=610.40=152.5，

則AB=AF+BF=152.5+61=213.5≈214，

即居民樓的高約為214米.

3.2運用解直角三角形解決方向角相關問題

例2在我國的某段海岸沿線處有A、B、C三個港口，B港口在A港口北偏西30°的方向上，且與A港口的距離為60海里.有一艘貨船從A港口出發，沿東北方向行駛一段距離后，到達位于B港口南偏東75°方向的C港口處，求C港口與B港口之間的距離（結果保留根號）.

分析方向角問題應結合實際問題抽象出示意圖并構造三角形，還要分析三角形中的已知元素和未知元素，如果這些元素不在同一個三角形中或者在同一個斜三角形中，就需要添加輔助線.在解題的過程中，有時需要設未知數，通過構造方程（組）來求解.

解如圖5，因為B港口在A港口北偏西30°的方向上，

所以∠BAE=30°，

因為BF∥AE，

所以∠ABF=30°，

又因為∠FBC=75°，

所以∠ABC=45°，

因為∠CAE=45°，

所以∠BAC=75°，∠C=60°，

過點A作AD⊥BC，垂足為D，

在Rt△ADB中，∠ABD=45°，AB=60，

則BD=AD=302，

在Rt△ADC中，∠C=60°，AD=302，

則CD=106，

BC=302+106，

即該船與B港口之間的距離為（302+106）海里.

3.3運用解直角三角形解決坡角、坡度相關問題

例3如圖6，某居民房的后面是一個泥土山坡，坡上面是一塊平地，房子的主人為了防止山體滑坡，決定對該斜坡進行改造以減緩坡面.經專業人員的勘測，發現斜坡AB長26m，BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB的坡比為12∶5.而只有當坡角不超過50°時，山體不易滑坡，如果改造時保持坡腳A不動，則坡頂B至少向左移多少米，才能確保山體不滑坡.（tan50°=1.2）

分析解決坡角、坡度相關問題時，要看清題目，理解題意，結合坡角、坡度的定義，以及坡角與坡度的內在關系，充分使用題干提供的有關于坡角、坡度的數據，正確選擇關系式解答.

解如圖6，設點B沿BC向左移動至點H時，

恰好坡角∠HAD=50°，

過點H作HF⊥AD于點F，因為斜坡AB的坡比為12∶5，

設BE=12aa>0，AE=5a，

根據勾股定理得AE2+BE2=AB2，

即（5a）2+（12a）2=262，

解得a=2，

所以BE=24，AE=10，

HF=BE=24，

所以，在Rt△AFH中

tan∠HAF=tan50°=HFAF=24AF=1.2，

解得AF=20，BH=EF=10，

故坡頂B至少向左移10m，才能確保山體不滑坡.