圓的內接四邊形與外切四邊形問題的常見題型解析

臺占青

【摘要】在初中數學的學習內容中，圓與四邊形特殊的位置關系可分為兩種：一種是四邊形內接于圓，它的一條重要性質定理是內接四邊形的對角互補；另一種是四邊形外切于圓，它的一條常用性質定理是外切四邊形的對邊長度之和相等.在考查圓與四邊形的綜合問題時，通常圍繞著這兩個性質進行出題.本文列舉4道利用“圓的內接四邊形對角互補”和“圓的外切四邊形對邊長度之和相等”性質進行解題的例題，針對這些常見題型給出詳細的分析思路和解題過程，希望可以使學生對圓與四邊形的綜合問題了解更全面，思路更清晰.

【關鍵詞】圓；四邊形；題型解析

1圓的內接四邊形題型解析

例1如圖1，已知線段AE是△ABC的外角∠CAD的角平分線，AE與△ABC的外接圓相交于點E，求證：EC＝EB.

分析采用倒推法進行分析：若想要證明EC＝EB，只需要先證明∠ECB=∠EBC即可，而證明這兩個角相等，則要用到以下兩個性質：①=1＼*GB3圓內接四邊形對角互補的性質定理；②=2＼*GB3在同圓中，公共弦所對的圓周角相等.二者結合使用，這道問題便可迎刃而解.

證明因為AE是∠CAD的角平分線，

所以∠EAC＝∠EAD，

因為∠EAD是圓內接四邊形ABCE的外角，根據圓的內接四邊形對角互補定理，

有∠EAD=∠ECB.

又因為∠EAC與∠EBC所對的弦同為CE，

所以∠EAC=∠EBC，

所以∠EBC=∠ECB，

△EBC為等腰三角形，即證得EC＝EB.

例2如圖2，點A、B兩圓O1與圓O2的交點，P是圓O1上的任意一點，連接PA、PB并延長，與圓O2交于C、D兩點，連接CD，過圓O1的圓心作PN交CD于點N，交圓O1于M，求證：PN⊥CD.

分析想要證明PN⊥CD，應先證明∠CDP+∠DPN=90°，連接MB及AB，根據圓的內接四邊形對角互補，有∠CDP=∠PAB；又由圓的直徑對應的圓周角為90°，再結合圓周角與弦的關系，找到∠PBM、∠PMB、∠DPN、∠CDP這些角之間的數量關系，即可求證.

證明連接MB、AB，

在圓O1中，∠PMB=∠PAB，

在四邊形ABCD和圓O2中，根據圓的內接四邊形對角互補，

有∠CDP=∠PAB，

即∠CDP=∠PMB，

又因為圓O1的直徑是PM，

所以∠PBM=90°，

所以∠PMB+∠DPN=90°，

即∠CDP+∠DPN=90°，

所以∠DNP=90°，

即PN⊥CD.

2圓的外切四邊形題型解析

例3如圖3，直角梯形ABCD是圓O的外切四邊形，切點分別為E、F、G、H，已知直角梯形ABCD的周長為18，其中CD長為5，求圓O的半徑.

分析本題是對圓的外切四邊形對邊之和相等的性質的利用，首先作輔助線連接圓心與四邊形的4個頂點和4個切點，再根據全等三角形的知識證得四邊形ABCD的對邊之和相等，再根據已知條件求得直角腰的長，最后找到圓O半徑與直角腰的關系，求得最終答案.

解連接OA、OB、OC、OD、OE、OF、OG、OH，

因為四邊形ABCD圓O的外切四邊形，

所以OE=OF=OG=OH，

∠AEO=∠AGO=90°，

又OA為公共邊，

所以△AEO≌△AGO，

所以AE=AG，

同理可證得BE=BF、CH=CF、DH=DG，

AE+BE+CH+DH=AG+BF+CF+DG，

AB+CD=AD+BC，

又因為已知直角梯形ABCD的周長為18，

所以AB+CD=9，

而其中CD長為5，則AB=4，

又因為∠ABC=90°，

OE=OF，BE=BF，

所以四邊形BEOF為正方形，

即OE=BE=12AB=2，

所以圓O的半徑為2.

例4如圖4，四邊形ABCD是圓O的外切四邊形，切點分別為E、F、G、H，已知∠A=∠B=120°，∠D=90°，BC的長為10，求AD的長.

分析將圓心與切點相連，可以發現四邊形OGDH為正方形，又易證∠A與∠OBA互補，OB∥AH，即可證得B、O、G三點共線，而題目中已經給出BC的長，所以可以根據勾股定理求出BG、CG的長；再根據例3中的證明，當設AH=x時，有AE=BE=BF=x，再次利用勾股定理可求得OE=3x，也就是圓的半徑為3x，最后根據這些線段之間的數量關系求出AH、OG的長，即可得到AD的長.

解連接OF、OB、OE、OD、OG、OH，

因為∠D=90°，OH⊥AD，OG⊥CD，

所以四邊形OGDH為正方形，即OG∥HD，

又因為∠B=120°，則∠OBA=60°，

即∠A與∠OBA互補，所以OB∥AH，

所以點B、O、G三點共線，

因為∠OBF=60°，∠BOE=30°，BC=10，

根據勾股定理可求得BG=5，

設AH=x，根據例3中的證明，

有AE=BE=BF=AH=x，

因為∠OBE=60°，∠BOE=30°，

根據勾股定理有OB=2x，OE=3x，

則OG=3x，

那么有OB+OG=BG，

2x+3x=5，

x=10－53，

即AH=10－53，

HD=OG=103－15，

則AD=HD+AH

=10－53+103－15

=53－5.