借助圖形 感悟互逆

文／卞書彥

蘇科版數學七（下）第9章“整式乘法與因式分解”由“整式乘法”與“因式分解”兩部分內容組成。這兩部分內容是兩種互逆變形。對于一個數學表達式，我們不僅要會順向看，還要會逆向看，弄清其中的互逆關系，避免混淆。當我們學好整式乘法后，反過來采用逆向思維就可以學習因式分解了。

一、借助圖形，類比學習整式乘法

我們學習本章時，通過第1節(jié)的“用不同方法計算電視墻的面積”，體驗了單項式乘單項式的現實數學背景，根據“乘法交換律”“乘法結合律”和冪的運算性質，計算了兩個單項式的乘積，得到了單項式乘單項式的法則。

對于其他整式乘法法則，包括乘法公式，我們都是通過“用不同方法計算同一圖形的面積→通過歸納得出法則或公式→通過推演證實結論”這一路徑展開學習的。借助圖形直觀，我們發(fā)現了整式乘法法則和乘法公式，感悟了數形結合思想，經歷了由合情推理、演繹推理得到法則和公式的全過程，體會了數學的嚴謹性。這種能力中考中也有考查，例如：

例1（2022·廣西百色）圖1 是利用割補法求圖形面積的示意圖，下列公式中與之相對應的是（ ）。

A.（a+b）2=a2+2ab+b2

B.（a-b）2=a2-2ab+b2

C.（a+b）（a-b）=a2-b2

D.（ab）2=a2b2

【解析】等號左邊大正方形的邊長為（a+b）、面積為（a+b）2，由1個邊長為a的正方形，2 個長為a、寬為b的長方形，1 個邊長為b的正方形組成。根據面積相等，即可得出（a+b）2=a2+2ab+b2。故選A。

二、利用互逆，逆向學習因式分解

教材中，“因式分解”都采用“把……反過來，就得到……”的方式呈現。我們利用單項式乘多項式，探索用提公因式法分解因式的過程，體會了單項式乘多項式與提公因式分解因式之間的聯系；還將乘法公式反過來，探索出用公式法分解因式。這些探索，都發(fā)展了我們的逆向思維。我們首先要弄清因式分解的定義，才能正確分解因式，例如：

例2（2022·山東濟寧）下面各式從左到右的變形，屬于因式分解的是（ ）。

A.x2-x-1=x（x-1）-1

B.x2-1=（x-1）2

C.x2-x-6=（x-3）（x+2）

D.x（x-1）=x2-x

【解析】因式分解是將一個多項式變形為幾個整式乘積的形式，這種變形是恒等變形。判斷因式分解結果是否正確，可以用整式乘法去檢查。A選項，最后運算不是乘法，因而不是因式分解，不符合題意；B 選項，計算錯誤，不符合題意；C 選項是因式分解，符合題意；D 選項是整式乘法，不是因式分解，不符合題意。故選C。我們只有弄清有關公式的結構特點，才能正確運用公式分解因式。

例3（2022·山東菏澤）分解因式：x2-9y2=________。

【解析】本題滿足平方差公式的結構形式，其中，第二個平方項的底數是3y，不能誤以為是9y。原式=x2-（3y）2=（x-3y）·（x+3y）。

我們進行因式分解的基本方法有兩種：提公因式法、運用公式法。通常，把一個多項式分解因式，應先提公因式，再運用公式。進行多項式因式分解時，必須把每一個因式都分解到不能再分解為止。

例4（2022·遼寧丹東）因式分解：2a2+4a+2=________。

【解析】原式先提取公因式2 后，再利用完全平方公式分解即可。原式=2（a2+2a+1）=2（a+1）2。

三、知識建構，過好五關

學習本章時，我們可以用思維導圖將本章知識進行串聯并整體建構，如圖2。

圖2

對于本章法則與公式的學習，同學們需努力“披荊斬棘過五關”：瞻前顧后，過好“記憶關”，對于法則和公式，明白知識產生的過程和適用范圍；觀察結構，過好“理解關”，明白代數式是什么運算，適用何種法則或公式；關注順序，過好“表達關”，根據算理，規(guī)范解答；精做練習，過好“應用關”，根據具體問題，靈活解答；構建網絡，過好“聯系關”，發(fā)展符號意識，歸納、推理能力。