四維完備梯度近Ricci孤立子的局部特征

路娟玲,劉建成

(西北師范大學 數學與統計學院,蘭州 730070)

0 引 言

設(Mn,g)是n維Riemann流形,若存在Mn上的光滑向量場X和光滑函數λ,使得

則(Mn,g)稱為近Ricci孤立子,記作(Mn,g,X,λ),其中Ric表示Mn的Ricci曲率張量,LXg表示度量g沿X方向的Lie導數,X稱為孤立子場,λ稱為孤立子函數.若孤立子場X可以表示為一個光滑函數f:Mn→的梯度,即X=f,則Mn稱為梯度近Ricci孤立子,記作(Mn,g,f,λ),此時孤立子方程變為

Ric+2f=λg,

Ricci流[1]即拋物型的Einstein方程,研究者們利用該理論已證明了針對三維緊致流形提出的Thurston幾何化猜想.梯度Ricci孤立子是Ricci流的第一類奇點模型[2],因此研究梯度Ricci孤立子對Ricci流的奇點分析具有重要意義.文獻[3]中定理2.3的剛性結果表明,近Ricci孤立子是對Ricci孤立子的一個合理且概括性的推廣,其存在性比Ricci孤立子更易證明,而且近Ricci孤立子還包含了其他幾何流,例如Ricci-Bourguignon流[4]的自相似解族(其自相似解族是孤立子函數為λ=kR+v的梯度近Ricci孤立子,k,v∈,R表示數量曲率).在勢函數f的任意正則點附近,Catino[5]證明了局部共形平坦(即Weyl張量W=0)的四維梯度近Ricci孤立子局部上是具有三維常截面曲率纖維的卷積結構.當|f|≠0時,Deng[6]證明了半局部共形平坦(即Weyl張量的反自對偶部分W+=0或自對偶部分W-=0)的四維梯度近Ricci孤立子是局部共形平坦的.另一方面,在附加徑向Weyl張量為零的條件下,Catino[5]證明了具有調和Weyl張量(即divW=0)的四維梯度近Ricci孤立子在f的任意正則點附近具有三維Einstein纖維的卷積結構.進一步,Neto[7]將上述調和Weyl張量的條件減弱為Weyl張量反自對偶部分的散度為零,得到了同樣的結論.

對緊致的四維梯度近Ricci孤立子,在div4W=0和W(f,·,·,·)=0的條件下,Co等[8]證得了流形局部上是具有三維Einstein纖維的卷積結構; 若再對勢函數f附加適當的條件,則上述結論對四維完備梯度近Ricci孤立子同樣成立.此外,對徑向Weyl張量與Bach張量的散度同時為零的四維完備梯度近Ricci孤立子,若勢函數f的任意水平集是緊致的,則該流形是Einstein流形或局部上是具有三維Einstein纖維的卷積結構[8].

1 預備知識

Weyl共形曲率張量定義[9]為

任意(k,l)型張量T的g范數|T|g定義為

任意兩個對稱的(0,2)型張量α和β,其Kulkarni-Nomizu積是一個(0,4)型張量,記作αβ,定義為

其中X1,X2,X3,X4是切向量場.

設u是(Mn,g)(n≥3)上任意局部Lipschitz函數,f是其上的任意光滑函數,則Mn上的f-Laplace算子Δf定義為

Δfu=Δu-〈u,f〉=efdiv(e-fu).

(1)

對四維Riemann流形(M4,g)上任一點p,設{e1,e2,e3,e4}是切空間TpM的一組標準正交基,{e1,e2,e3,e4}是其對偶基,則存在唯一的叢態射*(稱為Hodge星算子),使得*(e1∧e2)=e3∧e4,表明四維定向Riemann流形上的2-形式叢Λ2可以直和分解為Λ2=Λ+⊕Λ-,且該分解是共形不變的,其中dimΛ2=6,dimΛ±=3,Λ±的基有如下形式:

{e1∧e2±e3∧e4,e1∧e3±e4∧e2,e1∧e4±e2∧e3}.

因此,2-形式叢Λ2=Λ+⊕Λ-的自同構Weyl張量W有如下分解:W=W+⊕W-,其中W±:Λ±M→Λ±M分別稱為Weyl張量W的反自對偶部分和自對偶部分.

2 主要結果

本文受文獻[10]的啟發,在附加適當的條件下,將其中的定理1推廣到完備梯度近Ricci孤立子的情形,得到以下結果.

定理1設(M4,g,f,λ)是四維完備梯度近Ricci孤立子,假設徑向Weyl張量為0,即W(f,·,·,·)=0,|W+|∈L2(e-fdvg).若

(2)

或

(3)

則在f的任意正則點附近,孤立子(M4,g,f,λ)局部上是具有三維常截面曲率纖維的卷積結構,或具有三維Einstein纖維的卷積結構.

證明: 由文獻[11],在四維梯度近Ricci孤立子(M4,g,f,λ)上成立

(4)

再根據f-Laplace算子的性質Δf(xy)=xΔfy+yΔfx+2〈x,y〉(x,y∈C∞(M4)),得

(5)

式(4)減式(5)得

(6)

由文獻[10]知

(7)

將式(7)代入式(6)得

再由式(2)可知|W+|Δf|W+|≥0.

令φ:M4→是光滑截斷函數,使得在Bp(r)上φ=1,在Bp(2r)外φ=0,并且|φ|≤c/r,其中Bp(r)是以p∈M4為球心、r為半徑的測地球,c是正常數.因此

根據f-Laplace算子的定義式(1),進一步可得

即

于是

因為|W+|∈L2(e-fdvg),所以當r→∞時,式(8)右端趨于零,從而|W+|一定是常數.

當|W+|=0時,根據文獻[6]知,(M4,g,f,λ)是局部共形平坦的,因此結合文獻[5]的推論1.4知,孤立子(M4,g,f,λ)局部上是具有三維常截面曲率纖維的卷積結構.當|W+|≠0時,由式(2),(4),(7)簡單計算可知W+=0,表明divW+=0,即(M4,g,f,λ)具有半調和Weyl張量.進一步,根據文獻[7]中定理1.1與假設條件W(f,·,·,·)=0可知,孤立子(M4,g,f,λ)局部上是具有三維Einstein纖維的卷積結構.

若將假設條件由式(2)變為式(3),則由文獻[11]可知

下面證明方法同上,故略.證畢.

注1當λ為正常數,即梯度收縮Ricci孤立子情形時,根據文獻[10]中定理3的證明過程可知,條件|W+|∈L2(e-fdvg)自動成立,并且不需要假設徑向Weyl張量為0,定理1即為文獻[10]中定理1.對近Ricci孤立子,本文定理1的結論對收縮、擴張或穩定的情形都適用.

定理1對孤立子Ricci曲率的界不做任何限定,根據文獻[7]的結論,定理1中條件W(f,·,·,·)=0可以由Ricci曲率相關的條件替換,從而得到如下推論.

推論1設(M4,g,f,λ)是四維完備梯度近Ricci孤立子,假設|W+|∈L2(e-fdvg).若

則在f的任意正則點附近,孤立子(M4,g,f,λ)局部上是具有三維常截面曲率纖維的卷積結構,或具有三維Einstein纖維的卷積結構.

證明: 由定理1的證明過程可知,當|W+|=0時,孤立子(M4,g,f,λ)局部上是具有三維常截面曲率纖維的卷積結構.當|W+|≠0時,(M4,g,f,λ)具有半調和Weyl張量.進一步,根據文獻[7]中定理1.2及Ricci曲率的假設條件可知,孤立子(M4,g,f,λ)局部上是具有三維Einstein纖維的卷積結構.