Lévy過程驅使的非線性隨機微分方程的參數估計

李明蔚,呂 艷

(南京理工大學 數學與統計學院,南京 210094)

Lévy過程表示一類樣本路徑右連續的隨機運動,包含布朗運動、Poisson過程等一系列重要隨機過程,因其增量獨立且平穩以及其良好的應用前景,一類由Lévy過程驅使的隨機微分方程得到廣泛關注.目前對于驅動噪聲為布朗運動的隨機微分方程,其線性及非線性情形下的參數估計問題均已取得一系列研究成果[1-5].對于其他類型的Lévy過程,Hu等[6]將軌跡擬合方法和最小二乘技術相結合,研究了連續時間觀測下由α平穩Lévy運動驅使的Ornstein-Uhlenbeck過程的參數估計問題; Masuda[7]提出了由對稱Lévy過程驅使的Ornstein-Uhlenbeck過程在離散觀測點下的一種自加權最小絕對偏差估計量; Long等[8]提出了通過設置對比函數建立適用于普遍Lévy過程的最小二乘估計量方法,該方法雖允許漂移函數非線性,但要滿足Lipschitz條件; Mai[9]削弱了文獻[8]中漂移項的條件,提出了在局部Lipschitz條件下隨機微分方程的似然函數,并利用指數族的方法對Ornstein-Uhlenbeck過程、平方根過程給出其強一致及在Hajek-LeCam意義上漸近有效的估計量.

基于此,本文考慮漂移項含有高次冪的多項式型非線性隨機微分方程的參數估計問題,并對所提出的極大似然估計量的漸近性質進行討論.最后,通過模擬樣本軌道驗證方法的有效性和估計量的性質.

1 連續時間觀測下的極大似然估計量

設(Ω,F,(Ft)t≥0,P)是一個概率空間,L是一個Lévy過程,其特征值為(b,σ2,μ),根據Lévy-It分解可知,

其中Bt是一個標準Wiener過程,N是+×(d-{0})上的一個獨立Poisson隨機測度,是一個鞅測度,且設m為取值于+的常數,σ2>0,考慮隨機微分方程

(1)

取Cn=|θ+3n2|,Dn=||θ|+n2|,使得對所有的t,當|x|,|y|≤n時,有

|θx-x3-θy+y3|=|θ(x-y)+(y-x)(x2+xy+y2)|≤Cn|x-y|,

|θx-x3|=|x(θ-x3)|≤||θ|+n2||x|≤Dn(1+|x|).

(2)

其中Xc是X在P0下的連續鞅部分.對似然函數取對數并求導,可得

因此θ的極大似然估計量為

(3)

證明: 首先討論在P0下Xc的表示.由Lévy-It分解可知,其中Wt是一個標準Wiener過程,

因此可從X中分解出一個局部P0鞅Mt,

所以在P0下,Xc=mσW.

所以可將極大似然估計表示為真實參數θ與一個由Pθ-Wiener過程驅動的偏差之和,即

證明: 記對數似然函數為RT(θ),對任意的|λ|≥0,有

證明: 將對數似然函數對θ求導得

2 離散時間觀測下有限活躍條件的極大似然估計

(5)

其中ΔiX=Xti+1-Xti,Δi=ti+1-ti,vn>0.

證明: 不失一般性,假設σ=1,則

(6)

其次考慮不等式(6)右邊第二項,由Jensen不等式可知,

所以有

由Markov不等式得

從而結論得證.

而

對式(1)兩邊在[ti,ti+1]上做積分,可得ΔiX=ΔiD+mΔiL,又因為Lt=Wt+Jt,所以ΔiX=ΔiD+mΔiW+mΔiJ.由引理1得

綜上可知,

從而

引理3若假設(H1)成立,則當n→∞時,有

(7)

證明: 由引理2知,

只有在該時間間隔內發生跳躍,式(7)右邊的增量差值才不為0,即

由于ΔiXc=mΔiW+ΔiD,因此有

再利用H?lder不等式得

綜上結論得證.

證明: 推導可得

由引理3知,在Pθ下,當n→∞時,有

證明: 由引理3知,在Pθ下,當n→∞時,有

3 數值模擬

下面對有限活躍情形下隨機微分方程進行仿真模擬.取初值x0=1,對方程(1)進行Euler離散化可得:

表1 不同真實值下的均值及識別到的跳躍數結果

圖的誤差分布直方圖(A)和的正態QQ圖(B)Fig.1 Error distribution histogram of (B)

綜上所述,本文在漂移項為局部Lipschitz以及驅動噪聲為Lévy過程的條件下,討論了非線性隨機微分方程(1)的參數估計,通過設置閾值的方法過濾過程中的跳躍,從而近似連續鞅部分,分別在連續時間觀測和離散高頻觀測下給出了參數θ的估計量及其漸近性質.最后,將估計量代入數值模擬實驗中,實驗結果驗證了本文方法的有效性,該方法有助于非線性隨機系統的拓展與應用.