一類帶Lévy跳的隨機SEIQR傳染病模型動力學分析

李曉嵐,郭英佳

(北華大學 數學與統計學院,吉林 吉林 132013)

通過研究傳染病傳播模型的動力學行為,分析疾病流行的過程、影響因素以及未來的發展趨勢,可更合理地制定防控策略,以減少傳染病的傳播途徑.Kermack等[1]建立了SIR倉室模型,并得到廣泛應用.目前,流行病學的數學模型大多數將人群分為易感者、潛伏者、染病者和恢復者4個倉室.而在大規模傳染病爆發時,隔離也成為傳染病防控的重要措施之一.因此,具有隔離的傳染病模型動力學行為目前已得到廣泛關注[2-4].

1 模型的建立

根據文獻[4],總人口N(t)可分為易感者S(t)、潛伏者E(t)、感染者I(t)、隔離者Q(t)和恢復者R(t) 5個倉室.基于此,文獻[5]提出了一類確定性SEIQR傳染病模型:

(1)

其中t表示時間,正常數A表示單位時間內因出生和移民而進入易感人群S的數量,β表示易感人群在接觸感染者后進入潛伏期的比例,ε表示潛伏期的發病率,γ和ω分別表示從I類和Q類人群的移除率,δ表示隔離強度,d表示自然死亡率,α1,α2,α3分別表示E類、I類、Q類人群的因病死亡率.文獻[6]研究了確定性SEIQR傳染病模型(1)的動力學行為,得到以下結論:

由于傳染病模型會受許多不可預測的環境噪聲影響[5,7-8],因此,在確定性傳染病模型中加入隨機干擾因素能更準確地反映傳染病的實際傳播規律.文獻[6]在確定性SEIQR傳染病模型(1)中加入白噪聲干擾因素,研究了一類隨機SEIQR傳染病模型的動力學行為.但噪聲不只是連續的,還存在不連續的波動,特別是對傳播速度快、影響面廣、危害性大的傳染病,可考慮用帶Lévy跳的隨機SEIQR模型刻畫疾病的傳播規律.基于此,本文建立并討論一類由Lévy噪聲驅動的隨機SEIQR傳染病模型:

(2)

2 全局正解的存在唯一性

下面利用Lyapunov分析法,證明系統(2)存在唯一的全局正解.首先對跳擴散系數做如下假設: 假設對每個c>0,均存在Lc>0,使得:

F1(x,u)=D1(u)S(t),F2(x,u)=D2(u)E(t),F3(x,u)=D3(u)I(t),

F4(x,u)=D4(u)Q(t),F5(x,u)=D5(u)R(t), |x|∨|y|≤c;

(H2) |ln(1+Di(u))|

P{τm≤M}≥ε0.

其中a是正常數.顯然函數V(S(t),E(t),I(t),Q(t),R(t))具有非負性,根據It公式,有

其中

取a=(d+α2)/β,使得aβ-(d+α2)=0.令

則有

結合式(4),對式(3)兩端從0到τm∧M積分并取期望,有

令Ωm={τm|τm≤M,m>m′},則有P(Ωm)≥ε0.對每個ω∈Ωm,S(τm,ω),E(τm,ω),I(τm,ω),Q(τm,ω),R(τm,ω)中至少有一個等于m或者1/m,因此

從而

這里IΩm是Ωm的示性函數.令m→∞,則有

∞>V(S(0),E(0),I(0),Q(0),R(0))+KM=∞,

矛盾,因此假設不成立,從而τ∞=∞ a.s.于是(S(t),E(t),I(t),Q(t),R(t))在有限時間內不會爆破,系統(2)存在唯一的全局正解.證畢.

3 解的漸近行為

當基本再生數R0<1時,確定性SEIQR傳染病模型存在全局漸近穩定的無病平衡點P0=(A/d,0,0,0,0).下面討論隨機系統(2)的解在P0點附近的漸近行為,并分析隨機噪聲強度對解漸近性質的影響.

3.1 無病平衡點P0處的漸近行為

定理3假設條件(H1)和(H2)成立,如果R0≤1,且滿足

其中

V(S,E,I,Q,R)=a1V1(S,E,I)+a2V2(I,Q)+V3(S,E,R),

其中

對式(5)兩端從0～t積分并取數學期望,有

因此

證畢.

注1定理3表明,在某些假設條件下,系統(2)的解圍繞無病平衡點P0振動,振動強度與噪聲強度σi和Di(i=1,2,…,5)有關,且σi和Di的值越小,振動越弱,即隨機干擾越小,系統(2)的解越接近確定性SEIQR模型的無病平衡點P0,此時疾病會逐漸消失.

3.2 地方病平衡點P*處的漸近行為

定理4假設條件(H1)和(H2)成立,如果R0>1且滿足

(6)

其中

(7)

證明: 當基本再生數R0>1時,確定性的SEIQR模型存在地方病平衡點P*(S*,E*,I*,Q*,R*),且滿足

A-βSI*-dS*=0,βS*I*-(ε+d+α1)E*=0,εE*-(δ+γ+d+α2)I*=0,

δI*-(ω+d+α3)Q*=0,γI*+ωQ*-dR*=0.

分別定義函數

其中b3=ω+d+α3.令b1=ε+d+α1,b2=γ+δ+d+α2,根據It公式,有

構造Lyapunov函數V=V1+V2+V3+V4,則

對式(10)兩端從0到t積分再取期望,有

(11)

證畢.

注2定理4表明,在某些假設條件下,系統(2)的解在P*附近振蕩,且振動的強度與噪聲強度有關.分析式(11)可知,σi和Di(i=1,2,…,5)的值越小,系統(2)的解越接近地方病平衡點P*(S*,E*,I*,Q*,R*),此時疾病會持續.