具有變號(hào)位勢(shì)Kirchhoff-Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)解的存在性

余 標(biāo),葉曉峰,楊 丹

(華東交通大學(xué) 理學(xué)院,南昌 330013)

1 引言與主要結(jié)果

考慮如下Kirchhoff-Schr?dinger-Poisson系統(tǒng):

(1)

其中λ是一個(gè)正參數(shù),p∈(4,6).系統(tǒng)(1)對(duì)應(yīng)的能量泛函為

(u,φ)是系統(tǒng)(1)的解當(dāng)且僅當(dāng)其為Jλ(u,φ)臨界點(diǎn).

注意Poisson方程-Δφ(x)=u2在D1,2(3)中有唯一解利用文獻(xiàn)[2-3]中的化簡(jiǎn)方法可知,要證明系統(tǒng)(1)存在弱解,只需證明能量泛函Iλ(u):H1(3)→存在臨界點(diǎn)即可.Iλ(u)定義為

文獻(xiàn)[4-10]研究了Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)各種解的存在性,但在變號(hào)位勢(shì)情形下對(duì)該問題的研究較少.對(duì)于變號(hào)位勢(shì)的問題,由于V在某些地方為負(fù),因此能量泛函I將不再滿足一般的環(huán)繞定理.文獻(xiàn)[11]利用Morse理論得到了Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)非平凡解的存在性.本文在文獻(xiàn)[12-13]的基礎(chǔ)上,利用變分法給出系統(tǒng)(1)具有無(wú)窮多個(gè)不同的非平凡解.

對(duì)位勢(shì)函數(shù)V做如下假設(shè):

(H1)V∈C(3,),且V下有界;

(H2) 存在一個(gè)常數(shù)c>0,使得集合{x∈3:V(x)≤c}非空且meas{x∈3:V(x)≤c}<+∞,其中meas表示3中的Lebesgue測(cè)度.

本文的主要結(jié)果如下:

定理1假設(shè)(H1)和(H2)成立,且4

2 預(yù)備知識(shí)

設(shè)H1(3)={u∈L2(3):u∈L2(3)}是一般的Sobolev空間,具有如下標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積和范數(shù):

定義本文的工作空間為

具有如下內(nèi)積和范數(shù):

其中V±(x)=max{±V(x),0},且V(x)=V+(x)-V-(x).由文獻(xiàn)[12]可知,Eλ嵌入到Ls(3)是連續(xù)的,其中2≤s≤6.因此,存在一個(gè)常數(shù)as>0,使得

‖u‖s≤as‖u‖λ, ?u∈Eλ,

其中‖·‖s表示Ls(3)中的范數(shù).根據(jù)文獻(xiàn)[13],假設(shè)

Fλ={u∈Eλ: suppu?V-1([0,+∞))},

(2)

命題1[13]設(shè)(H1),(H2)和V-≠0成立,則對(duì)任何固定的j,有:

1) 當(dāng)λ→+∞時(shí),μj(λ)→0;

2)μj(λ)關(guān)于λ是一個(gè)不增的連續(xù)函數(shù),其中

設(shè)

命題2[14]設(shè)E是一個(gè)無(wú)窮維的Banach空間,I∈C1(E,)是偶泛函,滿足(PS)(Palais-Smale)條件及I(0)=0.如果E=V⊕X,其中V是有窮維的,且I滿足如下條件:

1) 存在常數(shù)ρ,α>0,使得I|?Bρ∩X≥α;

則I有一個(gè)無(wú)界的臨界值序列.

為研究泛函Iλ,本文將利用涉及φu項(xiàng)的以下性質(zhì):

命題3[15]存在常數(shù)a1>0,使得對(duì)所有u∈H1(3)均有

3 主要結(jié)果的證明

引理1設(shè)(H1)和(H2)成立且40,使得對(duì)所有滿足‖u‖λ=ρ的u∈Eλ,均有Iλ(u)≥α.

證明: 由于在有窮維空間中所有的范數(shù)都等價(jià),故存在常數(shù)Cp,C>0,使得

‖u‖D1,2(3)≤C‖u‖λ,

由于p∈(4,6),故只需取r充分大,即知結(jié)論成立.

引理3設(shè)(H1)和(H2)成立且40,使得對(duì)任一c∈,Iλ對(duì)所有λ≥Λ均滿足(PS)c條件.

顯然矛盾.

如果w≠0,則集合Ω={x∈3:w(x)≠0}有正的Lebesgue測(cè)度.對(duì)于x∈Ω,一方面,當(dāng)n→+∞時(shí)有|un|→+∞; 另一方面,根據(jù)法圖引理可知,當(dāng)n→+∞時(shí)因此,根據(jù)命題3可知,

顯然矛盾.因此{(lán)un}在Eλ中有界,不妨設(shè)‖un‖λ≤T,必要時(shí)取子列,則存在u∈Eλ和A∈,使得在Eλ中un弱收斂到根據(jù)可知

設(shè)vn∶=un-u.由(H1)和(H2)可知

因此,

令Λ>0充分大,則當(dāng)λ>Λ時(shí)在Eλ中有un→u,結(jié)論成立.