環域上2m階半正橢圓方程正徑向解的存在性

李 陽

(西安電子科技大學 數學與統計學院,西安 710126)

1 引言與預備知識

考慮環域上2m階半正橢圓方程:

(1)

若f(|x|,0)≥0,則問題(1)稱為正問題.這類問題已被廣泛研究[1-3].如文獻[1]研究了環域上2m階半線性橢圓方程

(2)

在g1∈C([a1,b1],[0,∞)),f1∈C([0,∞),[0,∞))且f1是超線性的條件下證明了該問題至少有一個正徑向解,其中m≥1是一個正整數,D={x∈N;a1<|x|

當f(|x|,0)<0時,問題(1)稱為半正問題[4].目前,對于二階微分方程半正問題的研究已有很多結果[4-10].如Kajikiya等[7]研究了環域上半正橢圓方程

正徑向解的存在性,其中θ>0是一個參數,A1={x∈N;a2<|x|

對于雙調和及多調和微分方程半正問題徑向解的研究目前報道較少,因此,本文將在半正即f(|x|,0)<0的情形下,用拓撲度理論研究帶參數λ的2m階半正橢圓方程(1)正徑向解的存在性.

注1與正問題的處理方法不同,本文直接對半正問題(1)獲得正解進行研究有一定的困難,從而考慮構造一個大于等于0的函數f*,并借助非共軛算子(-1)mΔmu的主特征值對應的特征函數φ構造一個新的邊值問題進行研究,進而找到原問題(1)至少存在一個正徑向解.

注2m=1的情形與m≥2的情形有本質區別:

1) 當m=1時上下解方法成立,但當m=2時,上下解方法成立一般需一定的單調性條件[11];

2) 二階Dirichlet邊值問題

極大值原理成立的區間是λ1∈I1=(-∞,π2),其中f2∈C([0,∞],[0,∞)).四階非齊次兩端簡單支撐邊值問題

極大值原理成立的區間是λ2∈I2=(-π4,950.884 3),其中f3∈C([0,∞],[0,∞))[11].觀察到I1是一個無限區間,I2是一個有限區間,因此二階問題和四階問題有本質區別.

下面通過變換將求徑向解的問題(1)轉化為相應的帶擬導數的常微分邊值問題,并給出該問題對應齊次Dirichlet邊值問題格林函數的一些性質.

設L表示Laplace算子的極坐標形式,即

則問題(1)可化為一維邊值問題

(3)

因此,

L0v(t)=v(t);Lkv(t)=L(Lk-1v(t)),k=1,2,…,m.

特別地,有

定義算子l:C2m([a,b])→C([a,b]),lu(t)=(-1)mLmu(t).

引理1[2]齊次Dirichlet邊值問題

有且僅有一個格林函數Gm(t,s),其中Gm(t,s)有以下性質:

1)Gm(t,s)>0,a

2) 存在Cm>0,使得0≤Gm(t,s)≤Cm(s-a)m(b-s)m,a≤t,s≤b;

本文的工作空間是

其范數為

2 主要結果

本文假設:

(H1)f∈C([a,b]×[0,∞),);

(H3)f(|x|,0)<0.

證明: 考慮Dirichlet邊值問題

(4)

其中c≥0,φ表示l的主特征值α1對應的特征函數.

斷言: 問題(4)有正解當且僅當c有界.

事實上,定義算子A:C([a,b])→C([a,b]),

顯然A:C([a,b])→C([a,b])是全連續的.

由于

(5)

設問題(4)的正解為u(t),則

(-1)mLmu=f*(t,u)+cφ.

(6)

將式(6)兩端同時乘以φ,并在[a,b]上進行積分,可得

通過簡單的計算并結合式(5),可得

即

因為φ>0,所以

當c有界時,由問題(4)的等價積分形式可得

對任意的t∈[a,b],有

當c=0時,問題(4)為

(7)

結合f*(t,u(t))在[a,b]上的有界性及問題(7)的等價積分形式,對任意的t∈[a+δ,b-δ],存在充分小的r1∈(0,r2),使得

從而

‖u‖C2m-1≥‖u‖C0>r1.

下證對任意的0≤ν≤1,當u∈?Br1時,有u≠νF(u).

其解為

當t∈[a+δ,b-δ]時,結合r1充分小,可保證

從而‖u‖C2m-1≥‖u‖C0>r1,與u∈?Br1矛盾,因此結論成立.

由拓撲度理論的缺方向性和不動點指數理論,可得

deg(I-F,Br2,0)=0, deg(I-F,Br1,0)=1,

從而

證畢.

‖F1(v)‖C2m-1<δ,

(8)

則存在0

u=F(u)+F1(u).

(9)

證明: 沿用引理2的記號,設

下面分三步證明:

1) 由F的緊性,證明存在δ>0,使得若v∈?Nε,則有‖(I-F)(v)‖C2m-1>δ.

若u滿足lu(t)=f(t,u)=p(t)ur,不妨設其解為u1,u2,由于v∈?Nε,則v不是u1,u2其中之一,進而v不是lu(t)=f(t,u)的解,因此(I-F)(v)≠0,從而‖(I-F)(v)‖C2m-1>δ.

2) 證明對于充分小的ε>0,當v∈Nε時,對任意的t∈(a,b),有v(t)>0.

(10)

于是問題(10)的解為

3) 證明存在0

由于‖F1(v)‖C2m-1<δ,v∈Br2,則對任意的v∈?Nε,有

‖(I-F-F1)(v)‖C2m-1≥‖(I-F)(v)‖C2m-1-‖F1(v)‖C2m-1>0,

因此(I-F-F1)(v)≠0,從而deg(I-F-F1,Nε,0)有意義.結合拓撲度理論的性質有

證畢.

引理4若f滿足假設(H1)～(H3),則存在λ0>0,使得對任意的0<λ<λ0,問題(3)至少有一個正解.

證明: 由已知條件,存在ε1>0,使得對任意的t∈[a,b],當ξ充分大時,有

因此對這樣的ξ,有

|f(t,ξ)-p(t)ξr|<ε1p(t)ξr,

從而存在常數k(ε1),使得對任意的ξ≥0,有

|f(t,ξ)-p(t)ξr|<ε1p(t)ξr+k(ε1).

(11)

令

由于

因此

對任意的0

取ε1充分小,使得對任意的t∈[a,b],有

(12)

取α充分小,使得

(13)

從而

(14)

結合式(12),(13),可知式(8)成立.

由引理3知,存在0

(15)

定理1若f滿足假設(H1)～(H3),則存在λ0>0,使得當0<λ<λ0時,問題(1)至少有一個正徑向解.

證明: 事實上,u是問題(1)的一個徑向正解當且僅當u是問題(3)的一個正解.因此引理4成立即表明定理1成立.