帶p(t)-Laplace算子的分數階Langevin方程參數型反周期邊值問題解的存在性

倪晉波,陳 港,董蝴蝶

(安徽理工大學 數學與大數據學院,安徽 淮南 232001)

0 引 言

分數階微分方程廣泛應用于光學、熱學系統、數學建模和力學等領域[1-3].Langevin在研究粒子布朗運動時,導出如下方程[4]

(1)

式(1)稱為Langevin方程.在復雜介質環境下,方程(1)不能準確描述物體運動的動力學行為.基于分數階微分算子的長程相關性和記憶性,Lutz[5]和Burov 等[6]提出了下列分數階Langevin方程:

目前,關于分數階Langevin方程(初)邊值問題解的存在性研究已被廣泛關注[7-13].例如,Ahmada等[9]利用Krasnoselskii不動點定理討論了如下Langevin方程三點邊值問題解的存在性:

(2)

(3)

(4)

(5)

受上述研究結果的啟發,本文討論帶p(t)-Laplace算子的分數階Langevin方程參數型反周期邊值問題:

(6)

1 預備知識

定義1[3]函數f: (0,+∞)→的α(α>0)階Riemann-Liouville型分數階積分定義為

其中等式右端在(0,+∞)上有定義.

定義2[3]函數f: (0,+∞)→的α(α>0)階Caputo型分數階導數定義為

其中n=[α]+1,假設等式右端在(0,+∞)上有定義.

定義3[15-16]對任意的(t,x)∈[0,1]×,φp(t)(x)=x是從到的同胚映射,且當t固定時,φp(t)(·)是嚴格單調遞增的,其逆映射定義為

是將有界集映成有界集的連續映射.

引理1[3]令α>0,假設f∈ACn[0,1],則

(7)

其中ci∈,i=0,1,2…,n-1,n=[α]+1.

引理2(Schaefer不動點定理)[17]設X是Banach空間,算子T:X→X為全連續算子,若集合Ω={x∈X|x=μTx,μ∈(0,1)}有界,則算子T在X中至少存在一個不動點.

2 主要結果

引理3分數階Langevin方程

(8)

在邊值條件

(9)

下,有如下形式的解:

其中

(10)

由邊值條件(9),可得

(11)

利用邊值條件x(a)=-x(1),可得

將式(12)代入式(11)即證得結論.

基于引理3,定義算子T:C[0,1]→C[0,1]如下:

從而邊值問題(6)解的存在性等價轉化為證明算子T存在不動點.

定理1設f: [0,1]×2→連續,且滿足條件: 存在非負函數ξ,φ,η∈C[0,1],使得

(13)

則當

(14)

時,邊值問題(6)在X上至少有一個解,其中

l∶=max{(‖φ‖∞+‖η‖∞)1/(pm-1),(‖φ‖∞+‖η‖∞)1/(pM-1)}.

證明: 證明分兩步完成.

于是有

2) 證明算子T在X上存在不動點.定義集合S={x∈X|x=μTx,μ∈(0,1)}.根據Schaefer不動點定理,證明算子T在X上存在不動點只需證明S有界.對任意的x(t)∈S,由條件式(13)可得

從而有

由不等式(u+v)q≤2q(uq+vq)(u,v,q>0)和xr≤x+1(r∈[0,1],x≥0)可知,對任意的t∈[0,1],有

因此,

結合式(15),(16)可得

由條件式(14)和式(17)可推出存在一個常數G>0,使得‖x‖X≤G.由Schaefer不動點定理可知,T在S中至少存在一個不動點,即邊值問題(6) 至少有一個解.

3 應用實例

例1考慮邊值問題

(18)

由定理1可知邊值問題(18)至少有一個解.