二維圓弧陣列結構共面沖擊下的平臺應力研究

孫德強, 本金翠, 張 超, 許亞利, 葛 鳳, 常 露, 李蕓嫻

(1.陜西科技大學 中國輕工業功能印刷與運輸包裝重點實驗室 3S包裝新科技研究所 輕化工程國家級實驗教學示范中心, 陜西 西安 710021; 2.西安西電變壓器有限責任公司, 陜西 西安 710077; 3.西安國際港務區新農小學, 陜西 西安 710026)

0 引言

蜂窩結構具有輕量化、耐沖擊和緩沖吸能性好等特點,在航空航天、汽車防撞、建筑和包裝等領域中被制作成各種緩沖吸能裝置,來吸收外部沖擊載荷產生的能量[1-4].相關研究表明蜂窩材料孔穴形狀不同,相應的能量吸收性能也會大不相同[5,6].Wang等[7]研究了七種不同構型蜂窩結構的共面力學行為,通過比較不同的蜂窩結構,得出Kagome型蜂窩結構的力學性能是最優越的.劉穎等[8]對三角形和四邊形蜂窩結構進行了共面沖擊有限元計算,發現單位質量的三角形蜂窩比四邊形蜂窩具有更高的平臺應力和更高的能量吸收能力,并且從壓縮變形過程說明相關成因.

為了滿足不同的設計需求,蜂窩夾芯層的種類變得越來越多.新型蜂窩夾芯層的研究也越來越多.Guo等[9]在傳統的雙V形的基礎上提出雙U形蜂窩,借助理論、數值模擬和試驗相結合的方法研究其緩沖性能.孫德強等[10]利用有限元法研究了凹六邊形蜂窩的準靜態壓縮行為,探究了壁厚邊長比和擴展角的影響,推導了有關計算公式.Qi等[11]提出一種雙圓弧代替凹六邊形側棱結構,極大提高了蜂窩材料的緩沖性能.Zhang等[12]以柚子皮的微觀結構為藍本,設計了一種仿柚子皮層級蜂窩結構,這種仿生設計增強了蜂窩結構共面和異面的耐撞性.Yang等[13]模仿馬蹄的形狀設計了一系列馬蹄形蜂窩結構,證明了馬蹄形狀的設計方案可以增大蜂窩的平臺應力,提高吸能性能.Chen等[14]研究了一種新型負泊松比蜂窩結構的準靜態力學特性,通過試驗和模擬相結合的方式研究結構參數對沖擊性能的影響.這些研究表明,改變傳統蜂窩孔穴形狀可以得到綜合力學性能更優的蜂窩結構材料.在對新構型蜂窩結構力學行為,特別是在大變形條件下的力學行為進行研究,已成為研究人員密切關注的一個熱點話題.同時,對產生的各種新構型蜂窩的力學參數要從理論上開展相應研究,并通過試驗和有限元數值模擬加以驗證,比如共面動態平臺應力與各結構參數之間的關系.

二維圓弧陣列結構是一種新型蜂窩結構材料,本文首先建立其共面沖擊分析的有限元模型,并通過壓縮試驗驗證有限元模型的可靠性.通過大量參數化模擬計算,揭示其變形模式并得到不同變形模式間臨界速度的計算公式.其次,基于二維圓弧陣列結構的特征單元變形模式,推導該結構在不同沖擊速度下的平臺應力理論模型,并借助有限元計算結果驗證理論模型的正確性.最后,利用理論模型和有限元模擬,分析沖擊速度、壁厚半徑比和圓弧角度對該結構共面平臺應力的影響規律.

1 有限元模型及可靠性分析

1.1 有限元模型

參考Sun等[15]建立有限元模型的思路和方法,利用有限元分析軟件ANSYS/LS-DYNA建立二維圓弧陣列結構有限元模型,如圖1所示.其中R為圓弧半徑,b為樣品厚度(胞元孔深),θ為圓弧角度,t為圓弧壁厚.

二維圓弧陣列結構置于剛性上壓板P1和支撐板P2之間,P1只允許在y方向上移動,限制其余自由度,P2的所有自由度均被限制為0,使得P1以恒定速度v向下運動,壓縮樣品變形.對樣品采用5個積分點的Belytschko-Tsay殼單元Shell163進行網格劃分;通過收斂性分析,確定殼單元邊長為0.6 mm.整個模型定義單面無摩擦自動接觸,樣品與剛板之間定義面面自動接觸,靜動摩擦系數分別為0.2和0.15.基材選用對應變率不敏感的雙線性應變硬化材料,各項力學參數為:楊氏模量Es為68.97 GPa,屈服應力σys為292 MPa,正切模量Etan為689.7 MPa,泊松比Vs為0.35,基材密度為ρs為2 700 kg/m3.

樣品底部所有節點固定,其它節點只能沿共面方向移動.為了消除尺寸效應對其仿真結果的影響,需要對樣品施加周期性邊界條件,即將二維圓弧陣列結構左右兩側各節點沿x方向的位移、繞y軸與z軸的轉動等自由度約束為0,如圖1(d)所示.

圖1 二維圓弧陣列結構共面沖擊有限元模型

1.2 二維圓弧陣列結構試驗樣品

圖2為二維圓弧陣列結構樣品.其制作首先是將鋁合金圓管采用激光切割,而后利用高強度粘合劑粘合而成.其總體尺寸為:100 mm×60 mm×50 mm.其中R=10 mm、b=50 mm、θ=180°、t=0.5 mm.

圖2 二維圓弧陣列結構試驗樣品

1.3 模型可靠性分析

為了驗證有限元建模方法的可靠性,需要采用壓縮試驗來驗證.為了獲得相應有限元模擬的材料參數,需要對壓縮試驗中使用試樣的基體材料進行拉伸試驗.

1.3.1 基體材料拉伸試驗

構成二維圓弧陣列結構的基體材料為6063-T6型鋁合金,按照GB/T 228.1-2021[16]中金屬材料室溫拉伸試驗的規定對基體材料進行拉伸試驗.拉伸試樣尺寸如圖3(a)所示.采用激光切割法制備的實際拉伸試樣如圖3(b)所示.

采用萬能材料試驗機以2 mm/min的拉伸速率對三組試樣進行拉伸,如圖3(d)所示.拉伸后的試樣如圖3(c)所示.最終得到的應力-應變曲線如圖4所示,由圖4可以看出6063-T6型鋁合金屬于典型的理想彈塑性材料,可在有限元模型中采用雙線性應變硬化材料模型.

對拉伸試驗結果進行處理,可得到試驗樣品基體材料的各項力學參數為:楊氏模量Es為69 GPa,屈服應力σys為217 MPa,正切模量Etan為675 MPa,泊松比Vs為0.33,基材密度為ρs為2 700 kg/m3.

圖4 試樣拉伸應力-應變曲線

1.3.2 壓縮試驗

壓縮試驗采用萬能材料試驗機進行,試驗樣品居中放置于上下剛性壓板之間,如圖5所示.上壓板以12 mm/min的速度向下壓縮試樣,采用相機錄制試樣變形全過程.

圖5 二維圓弧陣列結構的壓縮試驗

1.3.3 模型可靠性分析

建立與壓縮試驗樣品尺寸和基材參數完全等效的有限元模型,從變形模式和應力-應變曲線兩方面對試驗結果和仿真結果進行對比分析.

(1)變形模式

圖6表示壓縮過程中試樣在某一時刻的變形模式以及同一時刻的仿真模擬輪廓.可以看出,試驗所得到的變形模式與仿真所得到的變形模式具有很好的一致性.在加載初期,以上部最中間胞元為頂點,出現倒“V”形局部坍塌帶(圖6(b));然后倒“V”形坍塌帶的兩個分支向附近單元擴展,引起更多的胞元發生坍塌,坍塌帶逐漸變寬(圖6(c)～(d));最后一直沒有完全坍塌的中部胞元發生坍塌后,樣品達到密實(圖6(d)～(e)).

圖6 壓縮試驗與仿真變形模式對比

(2)應力-應變曲線

圖7表示壓縮試驗與有限元仿真所得到的應力-應變曲線對比圖,兩者具有很好的一致性.盡管此試驗載荷條件是低速條件下的準靜態壓縮,但本研究所用基材(6063-T6型鋁合金)是應變率不敏感的雙線性應變硬化材料,可推出在高速載荷條件下試驗和有限元模擬結果也會有很好的吻合性.據此,可證明前述所建有限元模型的可靠性.

圖7 壓縮試驗與仿真應力-應變曲線對比

2 共面變形模式與臨界速度

2.1 變形模式

與其它二維多孔緩沖材料一樣,二維圓弧陣列結構在低速、中速和高速共面沖擊載荷作用下,會表現出三種不同的變形模式[15,17].

2.1.1 低速沖擊載荷下的變形模式

圖8為二維圓弧陣列結構在低速沖擊載荷作用下的變形模式(v=1 m/s、R=3 mm、θ=120°和t=0.1 mm).沖擊初期,出現了一條“波浪”形局部坍塌帶(圖8(a));隨著上壓板繼續往下移動,該條“波浪”形坍塌帶向周邊擴展而變寬,同時在其上方出現了第二條“波浪”形局部坍塌帶(圖8(b));隨著時間的推移,兩條坍塌帶中間的單元逐步被壓潰,使得兩條坍塌帶接觸并逐漸融合在一起(圖8(c));最終樣品達到密實(圖8(d)).

圖8 二維圓弧陣列結構低速沖擊載荷下的變形模式

2.1.2 中速沖擊載荷下的變形模式

圖9為二維圓弧陣列結構在中速沖擊載荷作用下的變形模式(v=6 m/s、R=3 mm、θ=120°和t=0.1 mm).在這一變形模式下,樣品頂部第一行單元首先出現“一”字形坍塌帶(圖9(a));隨著上壓板的向下移動,中間部分出現一條類似低速變形模式下的“波浪”形局部坍塌帶(圖9(b));一定變形過后,各坍塌帶中間出現更多的局部坍塌帶,使得更多的單元局部密實(圖9(c));隨著上壓板繼續下移,各局部坍塌帶連成一片,直到樣品被完全壓實(圖9(d)).可看出這一變形模式下,除了加載初期頂部短時間的“一”字形坍塌帶外,與低速沖擊載荷下的變形模式相似.

圖9 二維圓弧陣列結構中速沖擊載荷下的變形模式

2.1.3 高速沖擊載荷下的變形模式

圖10為二維圓弧陣列結構在高速沖擊載荷作用下的變形模式(v=70 m/s、R=3 mm、θ=120°和t=0.25 mm).這一變形模式下,慣性效應占據了主導地位,下層單元還未發生明顯變形的條件下,頂部首層單元已經完全坍塌,并出現“一”字形坍塌帶(圖10(a));隨后“一”字形坍塌帶隨著上壓板的下壓,保持同種變形模式持續向下推進(圖10(b)～(c)),直至最后完全被壓實(圖10(d)).

圖10 二維圓弧陣列結構高速沖擊載荷下的變形模式

由上述分析可以看出,可以用不同的變形模式來區分沖擊速度的高低.中速沖擊載荷作用下的變形模式屬于低速和高速沖擊載荷作用下的混合變形模式,表明在從低速模式向高速模式的過渡,與Wei等[17]就新型星型蜂窩變形模式的結論相一致.

2.2 臨界速度

相關研究表明[17-19],相對密度和沖擊速度對蜂窩材料的變形模式起著重要作用.為了揭示相對密度和沖擊速度對二維圓弧陣列結構變形模式的影響規律,將不同相對密度和沖擊速度下的變形模式列于圖11.其中,二維圓弧陣列結構的相對密度公式為:

(1)

圖11 二維圓弧陣列結構不同沖擊速度下的變形模式

由圖11可以看出,二維圓弧陣列結構不同變形模式間的臨界速度與相對密度近似呈線性關系,與Wei等[17]、Qi等[18]和An等[19]得出的結論一致.根據最小二乘法,通過回歸分析得到了不同變形模式間的臨界速度經驗公式分別為:

(2)

(3)

式(2)、(3)中:v1和v2分別為低速沖擊載荷下的變形模式向中速沖擊載荷下的變形模式、中速沖擊載荷下的變形模式向高速沖擊載荷下的變形模式轉變的臨界速度.

3 平臺應力理論計算公式

平臺應力σp的大小決定了蜂窩材料的能量吸收能力,因此對平臺應力的研究很有必要.由于在中速沖擊載荷下的變形模式除了頂部短時間的“一”字形坍塌帶外,更多的表現為低速沖擊載荷下的變形模式.參考Wei等[17]的研究方法,可將中速沖擊下的平臺應力近似等于相應低速沖擊下的平臺應力.因此本節根據不同的變形模式,在建立該結構準靜態平臺應力理論模型的基礎上,只研究低速和高速沖擊下平臺應力的理論模型.

3.1 準靜態平臺應力

由于v=1 m/s時,二維圓弧陣列結構動能占比很小,與Qi等[11]的研究方法一樣,可以將v=1 m/s視為準靜態.在準靜態變形模式中提取出一個特征胞元,其變形前后的形狀如圖12所示.其中,特征胞元的原始高度和寬度為H0和L0,密實化之后高度和寬度為HD和LD.

圖12 特征胞元的準靜態變形模式

根據圖12(b),可假設只有4段圓弧發生變形(弧NC、弧MC、弧KD和弧LB),其中K、L、M和N分別為弧AD、AB、BC和CD的中點.各段圓弧在發生變形后曲率變化不大,因此可以假設塑性鉸只產生于圓弧兩端附近[11],故一個胞元內有8個塑性鉸,用空心圓圈表示于圖12(c)中.

各段圓弧發生變形后,塑性鉸轉動的角度可以用圖13表示.其中弧LB和弧KD中每個塑性鉸轉動的角度a=θ/4,弧NC和弧MC中每個塑性鉸轉動的角度b=a/2=θ/8.

圖13 特征胞元準靜態變形下塑性鉸轉動的角度

因此,塑性鉸轉動的總角度Δθ和特征胞元的高度變化量ΔH分別為:

(4)

(5)

準靜態載荷下可忽略動能的影響[11],根據塑性耗散理論,外力做功W等于塑性鉸產生的塑性耗散EP,可以得出下式:

(6)

式(6)中:MP為塑性矩,其值為MP=σysbt2/4,原始寬度L0=2Rsin(θ/2).

根據公式(5)和公式(6)可得到準靜態下的平臺應力表達式為:

(7)

3.2 低速沖擊時的平臺應力

假設由樣品與沖擊端和固定端的接觸力標準化后的平臺應力分別為σ1和σ2,在準靜態載荷下σ1=σ2.但動態沖擊載荷下由于慣性效應,二者不相等,σ2不受沖擊速度影響,其值近似等于準靜態平臺應力σ0[18,19].

按照喬錦秀[20]的方法來研究在低速沖擊載荷下(1 m/s

圖14 低速沖擊載荷下特征單元的變形模式

根據動量守恒原理,σ1和σ2從T1時刻到T2時刻的沖量差值等于特征單元的動量變化.即:

(8)

特征單元從T1到T2時刻動量改變量為:

(9)

由于在T1時刻,胞元Ⅰ發生初始變形,胞元Ⅱ未發生變形(圖14(b)和圖14(e));在T2時刻,胞元Ⅰ達到密實,胞元Ⅱ產生與胞元Ⅰ在T1時刻相同的變形(圖14(c)和圖14(f)).所以,T1時刻胞元Ⅱ動量為0,T2時刻胞元Ⅱ動量等于T1時刻胞元Ⅰ的動量.即:

(10)

根據公式(9)、(10)可以得到:

(11)

式(11)中:m為胞元Ⅰ的質量.

由于速度是恒定的,因此T1時刻到T2時刻的時間間隔ΔT為:

(12)

由公式(8)、公式(11)和公式(12)可得:

(13)

將L0=2Rsin(θ/2)、σ2=σ0代入公式(13),可以得到低速沖擊載荷下的平臺應力σL的理論公式為:

(14)

3.3 高速沖擊時的平臺應力

與低速沖擊下平臺應力的推導方法一樣[20],在高速沖擊載荷下(v≥v2),選取相鄰兩層胞元作為一個特征單元來分析其在共面高速沖擊下的平臺應力,如圖15所示.

根據公式(8)～(13)可以得出高速沖擊載荷下的平臺應力σH的理論公式為:

(15)

圖15 高速沖擊載荷下特征單元的變形模式

3.4 平臺應力理論計算公式驗證

圖16為二維圓弧陣列結構不同沖擊速度下平臺應力理論值與仿真值的對比圖.

圖16 平臺應力理論值與仿真值的對比

由圖16可以看出,理論值與仿真值吻合較好.并用表1給出了平臺應力理論值與仿真值的相對誤差,兩者的誤差<10%.證明公式(7)、公式(14)和公式(15)可以較好地預測二維圓弧陣列結構在共面不同沖擊速度下的平臺應力,同時也證明了前述有限元模型的可靠性.

表1 平臺應力理論值與仿真值的相對誤差

4 結果討論與分析

4.1 沖擊速度對平臺應力的影響

圖17表示二維圓弧陣列結構沖擊速度與平臺應力的關系曲線.可以明顯地看出平臺應力理論值與仿真值吻合度較高,都隨著沖擊速度的增大而增大.且中速沖擊下的平臺應力與低速沖擊和高速沖擊下的平臺應力可近似為在一條曲線上,可視為與沖擊速度的平方呈線性關系.

圖17 沖擊速度與平臺應力關系曲線

4.2 壁厚半徑比對平臺應力的影響

圖18為圓弧角度相同時,二維圓弧陣列結構壁厚半徑比與平臺應力關系曲線.可以看出理論值與仿真值具有很好的一致性.同一圓弧角度下,平臺應力隨著壁厚半徑比的增大而增大.這是因為壁厚半徑比越大,該結構相對密度越高,越不容易發生屈曲且抗沖擊能力也越強.

圖18 壁厚半徑比與平臺應力關系曲線

4.3 圓弧角度對平臺應力的影響

圖19為相對密度一致時,圓弧角度與平臺應力的關系曲線.

圖19 圓弧角度與平臺應力關系曲線

由圖19可以看出,理論值與仿真值具有很好的一致性,平臺應力隨著圓弧角度的增大而增大.這是因為在相對密度一致時,隨著圓弧角度的增大,二維圓弧陣列結構的壁厚、可變形空間和塑性鉸轉動的角度進一步增大,因此就需要更大的沖擊力來達到與其它較小圓弧角度相同的應變.

5 結論

本文借助理論、仿真和試驗的方法研究了二維圓弧陣列結構共面沖擊載荷條件下的平臺應力,得到如下結論:

(1)二維圓弧陣列結構在低速沖擊下的變形模式為“波浪”形坍塌;中速沖擊下的變形模式為“一”字形加“波浪”形坍塌;高速沖擊下的變形模式為從頂部到底部穩定的“一”字形坍塌;并通過回歸分析給出不同變形模式之間的臨界速度經驗公式,得出臨界速度與相對密度呈線性關系.

(2)運用塑性耗散理論和動量守恒原理推導出了二維圓弧陣列結構在不同沖擊速度下共面平臺應力的理論公式,并用有限元計算結果驗證了理論公式的正確性.

(3)同一結構參數下,二維圓弧陣列結構的共面平臺應力與沖擊速度的平方呈線性關系,并隨沖擊速度的增大而增大;沖擊速度相同時,其共面平臺應力隨著壁厚半徑比的增大而增大;相對密度一致時,其共面平臺應力隨著圓弧角度的增大而增大.