無界區域上一類帶有權函數的半線性橢圓方程解的存在性

韓亮, 謝君輝

( 湖北民族大學 數學與統計學院, 湖北 恩施 445000 )

0 引言

本文研究如下無界區域上的一類帶有權函數的半線性橢圓方程:

(1)

當問題(1)中的Ω不包含原點時,問題(1)是帶權函數的半線性橢圓方程.文獻[11]的作者用變分原理和山路引理討論了如下無界區域上的半線性橢圓方程解的存在性:

(2)

(3)

當問題(1)中的Ω為包含原點的區域時(系數有奇性),稱問題(1)是帶有Hardy項的半線性橢圓方程的邊值問題.文獻[13]的作者研究了如下無界區域上的一類帶Hardy項且具有臨界指數的半線性橢圓方程非平凡解的存在性:

(4)

(5)

1 預備知識

對任意的u∈H(Ω),問題(1)所對應的能量泛函為:

引理5[16](偶泛函臨界點定理)設E是一個無限維的Banach空間,偶泛函I∈C1(E,R)滿足PS條件和以下條件:

Γm={K?E;K關于0是緊對稱的且?h∈Γ1,ψ(K∩h(?B1))≥m}.

1)當0

2)若對某個m∈{1,2,…,k}有bm=bm+1成立,則對于每個bm,泛函I有無窮多個臨界點.

2 主要結果及其證明