基于幾何非線性圓拱動力模型的拱形溫室自振周期分析

張焱輝 李百豐 鄧 婷,2 韓盛柏,3 蔣秀根*

(1.中國農業大學 水利與土木工程學院,北京 100083;2.唐山市住房和城鄉建設局,河北 唐山 063000;3.中國建筑科學研究院有限公司 建研科技股份有限公司,北京100013)

拱形溫室是設施農業中常用的溫室型式,其內部空間大,受力具有優越性,非常適合規模化作業[1]。拱形溫室結構較輕,跨度較大,一般采用柔長細薄的桿件作為骨架,結構外覆蓋柔性薄膜,使得這種結構對風荷載較為敏感,風荷載對結構產生的動力響應是溫室結構設計中需要重點考慮的問題之一[2-3]。并且,風振中風荷載的計算非常復雜,結構在風荷載作用下的內力和變形也非常復雜。因此研究拱形溫室自振特性,提高結構抗風與抗撞擊性能,保證溫室結構設計的安全性,具有重要的科學意義。

拱作為一種壓彎結構,由于軸線曲率的影響,截面存在壓彎二重耦合[4]:一是拱軸線曲率產生的耦合,軸線曲率導致拱的軸向變形和彎曲變形相互耦合,增大了二者在求解過程中的難度;二是大撓度產生的二階彎矩,在拱結構中,截面的軸力與彎矩相互耦合,使得拱結構以受壓為主,軸向壓力對截面產生的二階效應不可忽略。同時,拱形溫室結構由于其截面整體抗彎剛度不足,容易引起較大的截面轉動,以及溫室拱結構的薄腹結構型式容易引起較大的剪切變形,使得在研究溫室結構的彎曲自振特性時,需要引入考慮剪切變形的Timoshenko梁理論[5]。另外,拱的振動問題還需要考慮慣性力的影響[6],結構的振動會產生平動慣性力和轉動慣性力,二者直接作用在結構上,使結構的受力分析變得更為復雜,尤其是轉動慣量的影響會使拱結構的振動特性與僅考慮平動慣量的拱結構振動特性有較大區別。

目前,國內外在溫室結構力學性能方面的研究較多。如考慮材料幾何非線性以及彈塑性時溫室結構的最不利位置[7],溫室結構在荷載作用下內力以及變形的計算方法[8-10]、溫室結構產生的變形量計算問題[11-12],對拱形溫室的縱向抗風性能進行分析,建立以矩陣形式表達的剛度平衡方程[13]。但關于溫室結構動力響應問題的研究較少。李成志等[14]用有限元法對異性溫室結構進行了靜力線性分析,雷雋卿等[15]利用有限元軟件ANSYS,對脈動風下考慮流固耦合的溫室結構進行了數值模擬計算和分析,但僅對溫室結構的矩形框架部分進行了研究。鄧婷等[16]對風振分析中的壓桿彎曲振動的動態剛度矩陣模型理論進行研究,但僅考慮了平動慣性力,轉動慣性力并未考慮,其研究對象也僅為溫室桿件中的壓桿。姜迎春等[17]等對考慮脈動風速的平面剛架日光溫室結構動力響應規律進行了研究,對溫室骨架結構動力響應進行時程分析,確定了骨架結構危險截面的位置,但并未考慮軸力對彎曲振動的影響。

本研究擬針對拱形溫室的彎曲振動問題,考慮拱的彎曲變形、剪切變形、軸向壓縮變形、二階效應以及基于分布質量的平動慣性力和轉動慣性力,采用直接剛度法,推導拱的動力模型,計算拱形溫室不同模型的自振周期,分析其動力響應規律,以期為溫室結構的動力分析和設計提供參考依據。

1 基本模型

1.1 基本假定

對溫室結構中的圓拱桿件,按照右手螺旋法則定義坐標系(圖1):以圓拱左端為坐標原點;以桿件軸線為x軸,向右為正;y軸垂直于曲軸平面,法向向上為正;z軸在曲軸平面內,垂直于桿件軸線,指向圓心O為正。

dθ為微段圓心角;r為圓拱半徑;為平動慣性力;為轉動慣性力矩。dθ are Micro-segment center angle. r are round arch radius. are rotational inertia moment.圖1 圓拱桿件坐標系及受力分析Fig.1 Coordinate system and stress analysis of circular arch

桿件所受外荷載包括軸向均布荷載qx(x,t)、 徑向均布荷載qz(x,t)、 均布力矩my(x,t), 所有外荷載與坐標軸方向一致為正;內力包括軸力N(x,t)、 剪力V(x,t) 和彎矩My(x,t), 當截面外法線方向與坐標軸正向一致時,內力與坐標方向一致為正,當截面外法線方向與坐標軸正向相反時,內力與坐標方向相反為正;位移包括軸向位移u(x,t)、 徑向撓度w(x,t) 和截面轉角θ(x,t), 位移與坐標軸方向一致為正。

本研究模型推導過程基于以下假定:等曲率拱,即圓拱,圓心角α=l/r, 其中r為圓拱半徑,l為弧長;壓彎耦合,考慮拱的拉壓和彎曲變形相互影響;Timoshenko彎曲模型,采用平截面假定,考慮圓拱的剪切變形,截面法向與軸線不重合;大撓度模型,考慮壓桿的二階效應,即軸力在撓度上對截面產生的二階彎矩;可壓縮模型,考慮圓拱截面軸向剛度和軸向變形;等截面,截面質量與剛度保持常數;線彈性,材料應力與應變服從比例關系;準常軸力,在考慮二階彎矩時,軸力視為常數,并且N0取壓為正;彎曲振動,只考慮徑向撓度運動產生的慣性力。

1.2 基本方程

1.2.1 平衡方程

對微段隔離體進行平衡分析,建立平衡方程,平衡方程包括軸力平衡方程、剪力平衡方程以及彎矩平衡方程,分別如下:

(1)

(2)

(3)

1.2.2 幾何方程

幾何方程為:

(4)

(5)

(6)

式中:εx(x,t)為軸向應變;γ(x,t)為剪切轉角;κy(x,t)為法向彎曲曲率。

1.2.3 物理方程

物理方程為:

(7)

式中:E為彈性模量;A為截面面積;G為剪切模量;μ為截面剪應力不均勻系數。

1.3 位移控制方程及求解

將基本方程(1),(2),…,(7)中的荷載、位移以及內力采用分離變量法進行分解,公式為:

(8)

式中:ω為桿件彎曲振動圓頻率。

1.3.1 位移控制方程

綜合方程(1),(2),…,(8)得到徑向撓度控制方程為:

(9)

軸向位移控制方程為:

(10)

剪切轉角控制方程為:

(11)

截面轉角控制方程為:

(12)

1.3.2 撓度方程求解

根據方程(9)的齊次格式可得圓拱徑向撓度通解一般格式為:

(13)

式中:c1,c2,…,c6為位移常系數;r1,r2,…,r6為特征根,特征根存在實根、虛根、零根及重根等情況,不同特征根對應不同的解。根據特征根的類型,解得徑向撓度通解共有40種。本研究使用2種通解。

通解1:

(14)

通解2:

(15)

將通解(14)和(15)寫為向量格式:

(16)

1.4 位移與內力

以徑向撓度基函數為基礎,結合基本方程以及位移控制方程,得到其他物理量的表達式和基函數見表1。

表1 其他物理量表達式及基函數Table 1 Other physical expressions and basis functions

2 自振分析方法

2.1 拱棚

拱棚結構形式簡單,僅由1個圓拱構成,兩端支座為鉸支,根據邊界條件,可得定解條件如下:左支座:徑向撓度為0,即w(0)=0,軸向位移為0,即u(0)=0,曲率為0,即κy(0)=0;右支座:徑向撓度為0,即w(α)=0,軸向位移為0,即u(α)=0,曲率為0,即κy(α)=0。根據定解條件,構建定解方程:

(17)

系數矩陣A中只有1個未知量ω,已知方程(17)一定存在有意義的非零解,則系數矩陣A需要滿足特征方程:

|A|=0

(18)

通過求解方程(18),可以得到自振圓頻率ω,進而由T=2π/ω得到結構的自振周期T。再將求得的ω帶回系數矩陣A,通過求解方程組(17),得到位移系數c,再根據式(16),即可得到各階振型。

2.2 典型拱形溫室

采用本研究模型計算結構的自振周期時,首先需明確桿件邊界條件。本研究中,將典型拱形溫室結構抽象為3個桿件,兩端支座鉸接,拱與柱子剛接,其結構示意見圖2。由邊界條件和連續條件得該溫室結構定解條件見表2。

底部柱子為一般動力梁,其位移與內力根據文獻[18]得到。由表2的定解條件可以得到系數矩陣A,由特征方程|A|=0可以求得結構自振周期,再由Ac=0,可以求得位移系數c,最后根據式(16),即可得到各階振型。

I、II、III為桿件編號。VI、VII、VIII分別為桿件I、II、III的剪力;NI、NII、NIII分別為桿件I、II、III的軸力。r為圓拱半徑;α為圓心角。I, II and III are bar numbers. VI, VII and VIII are shear force of bars I, II and III; NI, NII and NIII are axial forces of bars I, II and III. r is round arch radius; α is central angle.圖2 典型拱形溫室結構示意圖Fig.2 Typical arched greenhouse structure diagram

表2 典型拱形溫室結構定解條件Table 2 Solution conditions of typical arched greenhouse structure

3 拱形溫室結構自振周期計算

在計算拱形溫室自振周期時,共考慮了以下8種不同的模型:

模型1,幾何線性不可壓縮平動Euler梁模型;

模型2,幾何線性不可壓縮平轉動Euler梁模型;

模型3,幾何線性不可壓縮平轉動Timoshenko梁模型;

模型4,為幾何線性可壓縮平轉動Euler梁模型;

模型5,幾何線性可壓縮平轉動Timoshenko梁模型;

模型6,幾何非線性可壓縮平動Euler梁模型(N0=0.3Ncr);

模型7,幾何非線性可壓縮平轉動Euler梁模型(N0=0.3Ncr);

模型8,幾何非線性可壓縮平轉動Euler梁模型(N0=0.5Ncr)。

3.1 拱棚

選取跨度為8 m,失高為3 m的拱棚,用本研究模型計算其自振周期。桿件為焊接薄壁圓鋼管,截面規格為Φ51×2 mm,所用材料彈性模量E=2.06×105MPa,剪切模量G=8.0×104MPa,剪應力不均勻系數μ=1.2,質量密度ρ=7 800 kg/m3,鉸接拱腳。每種模型計算了前7階振型的自振周期,各模型周期計算結果見表3。

表3 拱棚不同模型自振周期計算結果Table 3 Calculation results of natural vibration period of different arch shed models s

3.2 典型拱形溫室

選取拱跨度為10 m,失高2.5 m的典型拱形溫室,計算2種不同結構型式下的自振周期:結構1,柱拱截面相同,均采用焊接薄壁圓鋼管,截面規格為Φ51×2 mm;結構2,柱拱截面不同,柱子采用方鋼管,截面規格為50 mm×50 mm×2 mm,拱采用圓鋼管,截面規格為Φ40×2 mm。2種結構所用材料力學性質相同,彈性模量E=2.06×105MPa,剪切模量G=8.0×104MPa,剪應力不均勻系數μ=1.2,質量密度ρ=7 800 kg/m3。每種模型計算了前7階振型的自振周期,各模型周期計算結果見表4。

表4 典型拱形溫室不同模型自振周期計算結果Table 4 Calculation results of natural vibration period of different models of typical arch greenhouse s

3.3 結果對比與分析

拱棚同一振型下每種模型與模型1的相對誤差的計算結果見表5。可以看出:采用不同分析模型,得到的自振周期不同,基本規律是,平轉動模型與平動模型的誤差>40%;幾何線性模型與幾何非線性模型的誤差>20%;Timoshenko梁模型與Euler梁模型的誤差<0.1%;可壓縮模型與不可壓縮模型的誤差<0.1%。產生這些差異的原因是,考慮的變形越多,結構剛度越小,自振周期越長。相比而言,轉動慣量和二階效應影響更為顯著,工程計算中,為了得到計算簡單、精度足夠的拱形溫室結構自振周期,應考慮平轉動引起的結構變形和軸力產生的二階效應,可忽略剪切變形和軸向壓縮變形,故應考慮采用幾何非線性可壓縮平轉動Euler梁模型。

表5 拱棚各模型周期相對誤差計算結果Table 5 Relative error calculation results of arch shed model period %

4 結束語

本研究在分析拱的彎曲變形、剪切變形、軸向壓縮變形、二階效應以及基于分布質量的平動慣性力和轉動慣性力的基礎上,建立了非線性平轉動Timoshenko圓拱動力模型。根據不同的定解條件,提出了拱形溫室結構的自振分析方法,實現了不同拱形溫室結構的自振分析。采用本研究模型計算了拱棚和典型拱形溫室結構在不同模型下的自振周期,對不同模型的計算結果進行分析表明,對于拱形溫室結構,應考慮平轉動和幾何非線性引起的變形,可忽略剪切變形和軸向變形,故可采用幾何非線性可壓縮平轉動Euler梁模型來計算其自振周期。