圓錐曲線問題中求定直線方程的若干思路

福建省福安市第一中學 (355000) 徐志剛

在一些關于圓錐曲線的綜合題中會伴隨著探求相關的定直線問題,由于題設條件的不同,其解題方法也是多種多樣、精彩紛呈,其中抓住問題特點、挖掘隱含條件、緊盯解題目標是所有解題方法的思維核心.本文通過對近幾年的高考模擬題的解題探究和分析,歸納出下面三種常用的思考路徑,供讀者朋友們參考.

1、求動點坐標找出直線在一些問題中需要證明某個動點在定直線上,我們可以設法用一個參數將此點表示出來,再通過研究找出此動點的變化規律,判定其在一個定直線上.

例1 平面直角坐標系xOy中,已知拋物線y2=2px(p>0)及點M(2,0),動直線l過點M交拋物線于A,B兩點,當l垂直于x軸時,AB=4．(1)求p的值;(2)若l與x軸不垂直,設線段AB中點為C,直線l1經過點C且垂直于y軸,直線l2經過點M且垂直于直線l,記l1,l2相交于點P,求證:點P在定直線上．

點評：根據已知條件,動點P是兩直線l1,l2的交點,這是本題的重要特征,所以問題就轉化為如何求得含參數k的直線l1和l2的方程,于是問題的解決比較容易了.

解析：(1)容易得到拋物線C的方程為x2=4y.

點評：此類問題的特點是,經過常規的推理和運算,可以用一個參數表示出所求的動點坐標,然后根據此坐標通過匹配和變形,求出動點所在的直線方程.

2、聯立方程推出直線根據交軌法的思路,將動點看成是兩直線(曲線)的交點,然后對兩直線方程進行整體變形和運算,經過消元轉化可直接得到定直線的方程.

點評：本題中的幾何條件比較多,如點B、C都在橢圓上,兩點關于y軸對稱等等,抓住這些可進行簡化設點,也降低了消元難度,壓縮了解題過程,減輕了解題的麻煩．

點評：在將兩個方程聯立后,如何化簡、如何消參就顯得非常重要了,此時必須關注所設的相關參數的意義,聯想到直線與圓錐曲線相交的特點和特定變換模式,提供整體變形轉化可解決問題.

3、轉化思考挖出定直線在深刻理解題意的基礎上,抓住題中的某一些關鍵條件,換一個方向重新解釋題意,打開新的思路,這樣就能獲得破題機會.

點評：由于題中所需確定的三角形的圓心在某定直線上,直接思考是比較困難的,但換一個思路,內切圓與三角形的內角平分線相關,并且定直線x=1與y軸垂直,故而可從尋找直線PA,PB的斜率關系人手.

點評：運用待定系數法是解決相關參數的重要的方法,本題中利用條件建立了一個關于半徑r的恒成立的式子,抓住存在定直線的實質,通過比較系數求出參數值,此法是解決定直線系數問題的重要方法.