分類解析中考試題中的創(chuàng)新題型

湖北省襄陽市第一中學 (441000) 杜曉霞 王 勇

《教育部關于加強初中學業(yè)水平考試命題工作的意見》要求考生對“新穎的信息、情境和設問,選擇有效的方法和手段收集信息,綜合與靈活地應用所學的數(shù)學知識、思想和方法,進行獨立思考、探索和探究,提出解決問題的思路,創(chuàng)造性地解決問題.”隨著新一輪課程改革的深入和推進,中考的改革使知識立意轉(zhuǎn)向能力立意和素養(yǎng)立意,強化學科素養(yǎng)和關鍵能力的考查,推出了一批新穎而又別致,具有創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維的新題. 本文采擷中考題中的創(chuàng)新題型并予以分類解析,旨在探究題型規(guī)律,揭示解題方法.

1 定義新的概念

例1 (2022·上海市中考題)定義:有一個圓分別和一個三角形的三條邊各有兩個交點,截得的三條弦相等,我們把這個圓叫作“等弦圓”,現(xiàn)在有一個斜邊長為2的等腰直角三角形,當?shù)认覉A最大時,這個圓的半徑為________.

圖1

點評：本題在理解“等弦圓”實質(zhì)的基礎上結合平面幾何知識即可順利解決問題.

2 約定新的運算

解析:當x+2≥2(x-1),即x≤4時,y=(x+2)?(x-1)=x+2-(x-1)=3;當x+2<2(x-1),即x>4時,y=(x+2)?(x-1)=x+2+x-1-6=2x-5. 綜上所述,選項A中的圖象符合題意,故選A.

點評：本題由約定的新運算可知所給函數(shù)是一個分段函數(shù),具體求出解析式并結合選擇支即可快速獲解.

3 引入新的記號

例3 (2022·赤峰市中考題)閱讀下列材料:引入記號:min{a,b},當a≥b時,min{a,b}=b;當a

圖2

解析：(1)易得(1)為①1,②-4.

點評:本題是“最值函數(shù)”記號,弄懂min{a,b}的實質(zhì)內(nèi)涵是解決第(1)問的關鍵,再結合數(shù)形結合思想和待定系數(shù)法即可輕松解決第(2)問.

4 設置新的交匯

例4 (2022·恩施州中考題)圖3(1)是我國青海湖最深處某一截面圖,青海湖水面下任意一點A的壓強P(單位:cmHg)與其離水面的深度h(單位:m)的函數(shù)解析式為P=kh+P0,其圖象如圖3(2)所示,其中P0為青海湖水面大氣壓強,k為常數(shù)且k≠0．根據(jù)圖中信息分析(結果保留一位小數(shù)),下列結論正確的是( ).

青海湖最深處某一截面圖

A. 青海湖水深16.4m處的壓強為188.6 cmHg

B. 青海湖水面大氣壓強為76.0 cmHg

C. 函數(shù)解析式P=kh+P0中自變量h取值范圍是h≥0

D.P與h的函數(shù)解析式為P=9.8×105h+76

點評：本題是數(shù)學與物理的跨科綜合題,考查數(shù)形結合思想、待定系數(shù)法,考查考生的運算求解能力.

5 創(chuàng)設新的情境

例5(2022·重慶市中考題)在多項式x-y-z-m-n中任意加括號,加括號后仍只有減法運算,然后按給出的運算順序重新運算,稱此為“加算操作”. 例如:(x-y)-(z-m-n)=x-y-z+m+n,x-y-(z-m)-n=x-y-z+m-n,….

下列說法:①至少存在一種“加算操作”,使其運算結果與原多項式相等;②不存在任何“加算操作”,使其運算結果與原多項式之和為0;③所有可能的“加算操作”共有8種不同的結果．其中正確的個數(shù)為( ).

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

解析：當添加一個括號,且左括號在x前邊時,右括號在任何一個位置,運算結果都與原多項式相等,故說法①正確. 由于不管在哪個位置添加括號都無法改變前兩項的符號,因此運算結果與原多項式之和不可能為0,故說法②正確. 根據(jù)“加算操作”的原則,不會改變前兩項的符號,改變的是后三項的符號,畫示意圖如圖4所示,據(jù)圖可知共有8種不同的結果,故說法③正確.故選D

圖4

點評：本題給出的情境新穎別致,考查考生的閱讀理解能力和邏輯推理能力.

6 建模新的應用

例6(2022·重慶市中考題)為進一步改善生態(tài)環(huán)境,村委會決定在甲、乙、丙三座山上種植香樟和紅楓．初步預算,這三座山各需兩種樹木數(shù)量和之比為5:6:7,需香樟數(shù)量之比為4:3:9,并且甲、乙兩山需紅楓數(shù)量之比為2:3．在實際購買時,香樟的價格比預算低20%,紅楓的價格比預算高25%,香樟購買數(shù)量減少了6.25%,結果發(fā)現(xiàn)所花費用恰好與預算費用相等,則實際購買香樟的總費用與實際購買紅楓的總費用之比為_________．

表(1)

表(2)

點評：本題是列方程解應用題,由于數(shù)量關系錯綜復雜,導致眾多考生無法正確求解.本題采用設未知數(shù)并充分利用表格法方可順利求解,此方法值得同學們細細品味和充分借鑒.

7 滲透數(shù)學文化

點評：本題以我國數(shù)學家秦九韶的“三斜求積術”為載體,考查考生的閱讀理解能力和運算求解能力.弘揚和傳承魅力無窮的數(shù)學文化,激發(fā)學生學習數(shù)學的樂趣和內(nèi)在動力.

例8 (2022·武漢市中考題)幻方是古老的數(shù)學問題,我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方——九宮格．將9個數(shù)填入幻方的空格中,要求每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和相等,例如圖5 就是一個幻方．圖6是一個未完成的幻方,則x與y的和是( ).

圖5

圖6

A．9 B．10 C．11 D．12

解析：設最中間、第三行最左側、第三行最右側的數(shù)分別為z,n,m,如圖7所示,根據(jù)題意可得

圖7

點評：本題以“幻方”為背景考查代數(shù)推理,合理設出未知數(shù),緊扣“每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和相等”列出方程組求解即可.考查考生的邏輯思維能力和運算求解能力.