例析整體代換在一道三角函數(shù)問題中的運用

上海中學(xué)東校 (201306) 汪海鵬

三角函數(shù)圖像性質(zhì)問題一直是高考數(shù)學(xué)試題中的常考問題,在破解此類問題時,經(jīng)常用到“整體代換”的思想方法.整體代換方法可以實現(xiàn)化繁為簡、簡便運算,對一些難度較高的三角函數(shù)問題可以達(dá)到事半功倍的效果.本文結(jié)合實例探析“整體代換”在三角函數(shù)問題中的應(yīng)用.

1.問題呈現(xiàn)

此題以三角方程為背景,題目簡單清晰,看似是三角方程求解的內(nèi)容,實質(zhì)上融合了三角函數(shù)圖像性質(zhì)以及圖像變換的知識.在具體的破解過程中,可以借助解三角方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、整體代換等不同的思維來綜合處理,從而有效切入,準(zhǔn)確破解.

2.問題破解

(1)解三角方程思維

點評：利用條件對方程中的參數(shù)a進(jìn)行分析代換,解三角方程得到通解,并結(jié)合φ的取值范圍進(jìn)行分情況討論,進(jìn)而解出不同范圍內(nèi)符合條件的φ值.

(2)三角函數(shù)思維

圖1

圖2

點評：借助整體代換思維將原問題轉(zhuǎn)化為余弦曲線上的問題,便于畫草圖進(jìn)行數(shù)形結(jié)合,再結(jié)合函數(shù)圖像的對稱性質(zhì),對參數(shù)加以分類討論,通過參數(shù)值的方程破解問題.

3.鏈接高考

圖3

巧妙借助整體代換的思想,將問題轉(zhuǎn)化到余弦曲線上,從而大大降低了作圖難度,便于數(shù)形結(jié)合,得以正確求解.這種類型題目一般難度較大,重點考查學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識分析和解決問題的能力.“整體代換”是解決三角函數(shù)圖像性質(zhì)問題的常用代數(shù)方法,通常再搭配數(shù)形結(jié)合的思想不僅可以使問題變得簡單明了、容易下手,而且在解決問題的過程中減少了不必要的細(xì)節(jié)分析和畫圖的麻煩.