識破偽裝,看透本質
——兩道高考題的幾何背景研究

浙江省杭州市富陽區江南中學 (311400) 林榮鋒

1.試題展示

2.試題解答

(2)由于題目沒有交代M,N的位置關系,那么也就是說無論是N在上方還是M在上方,結論都是成立的,我們以點N在點M上方為例(如圖1).

圖1

圖2

3.試題背景探究

兩道試題均是以極點、極線、調和點列、調和線束為背景的問題.題1中,直線AB為P點對應的極線.題2中點B對應的極線為x=-2.下面給出相關的概念.

3.1 極點、極線的幾何定義

如圖3,設P是不在圓錐曲線上的一點,過P點引兩條割線依次交圓錐曲線于四點E,F,G,H,連接EH,FG交于點N,連接EG,FH交于點M,則直線MN為點P對應的極線.若點P為圓錐曲線上的點,則過點P的切線即為極線.

圖3

3.2 調和點列

圖4

A

B

C

D

C

D

A

B

A

B

C

D

3.3 調和線束及性質

如圖5,從調和點列A,B,C,D所在直線外一點P,引射線PA,PB,PC,PD,則稱線束PA,PB,PC,PD為調和線束.

圖5

性質如圖6,已知PA,PB,PC,PD為調和線束,若有一條直線l平行于其中的一條,且與剩余三條交于三點,那么這三點中的內點平分該線段.

圖6

3.4 圓錐曲線中的調和點列

圖7

4 試題拓展

我們來分析題1,2的命題背景.

題1背景如圖8,設MN∩AB=Q,MT∩AN=V.首先注意到直線PA,PB均與橢圓相切,則直線AB為點P對應的極線,于是P,Q調和分割M,N,因此P,Q,M,N為調和點列,直線束AP,AQ,AM,AN為調和線束,由HV//AP可得,T為MV的中點,所以V和H重合,即NH過點A.

圖8

題2背景如圖9,點B對應的極線即為x=-2,設其與BN交于點H,可知B,H,M,N構成調和點列,因此AB,AH,AM,AN為調和線束,又PQ//AH,所以BP=BQ.

圖9

由此可以命制以下試題:

(1)求直線l傾斜角θ的取值范圍;