“風扇模型”的認識與推廣

廣東省汕頭經濟特區林百欣中學 (515000) 王曉川

在圓錐曲線問題中,常常涉及到焦半徑的性質與命題.若過同一個焦點的多條焦半徑,當焦半徑的端點為動點時,其形象類似于一個“風扇”,本文將此模型稱為“風扇模型”,其中的焦半徑稱之為“扇頁”.特別地,若相鄰焦半徑的夾角均相等,則稱其為“標準風扇”.此模型在高考中的時常出現,值得探究.

一、“風扇模型”及相關定值

若將焦半徑的個數稱為“風扇”的級數,上述兩題均為三級風扇的考察.通過比較可以看出,題1即為“標準風扇”模型的考察,而題2則是一般“風扇模型”的考察.解決此類問題的核心是利用橫坐標以及傾斜角等因素表達出焦半徑,再將其轉化為其他量的運算.文[1]中利用極坐標為工具研究得出如下三條性質:

二、“扇頁”線性組合后的最值問題

我們可從兩個角度對該模型進行分析:一是改變“扇頁”的組合方式,求解相應的最值;二是將上述圓錐曲線換成其他封閉的曲線,研究風扇模型是否存在定值,則得到標準“二級風扇”(即過焦點的焦點弦所形成的兩個焦半徑所形成的“風扇”)的線性組合性質.

證明類同性質5,此略.

三、正方形內的“風扇模型”

(一)“一級風扇”

為了簡化討論的對象,設正方形ABCD的中心為原點O,設點P是正方形ABCD上的動點,討論OP的變化規律.

如圖2,設正方形ABCD的邊長為2,AD,CD的中點為E,F.根據正方形的對稱性,可僅考慮點P在ED上的運動規律即可.

圖2

在近幾年的高考試題中也出現了該模型的應用.例如,(2015高考新課標2,理10)如圖3,長方形ABCD的邊AB=2,BC=1,O是AB的中點,點P沿著邊BC,CD與DA運動,記∠BOP=x．將P到A、B兩點距離之和表示為x的函數f(x),判斷y=f(x)的大致圖像

圖3

(二)“三級風扇”

根據正方形的對稱性,對于標準的“二級風扇”可視為“一級風扇”的2倍,其規律與“一級風扇”相同.接下來,考慮標準“三級風扇”的相關問題.

圖4

同理,可根據上述思路研究更多級的“風扇”,感興趣的讀者可作繼續研究.需注意的是,當外圍圖形為正方形時,對應的“扇頁”并不存在定值,但可根據該模型研究出很多衍生的問題,例如對上述“三級風扇”繼續研究ΔEFG的周長及面積等問題.