一道源于教材的習(xí)題探究

廣東省佛山市順德區(qū)第一中學(xué) (528300) 楊承根

教材是學(xué)生學(xué)習(xí)的主要材料,好的高考題應(yīng)該是源于教材.所以在平時的教學(xué)中,我們應(yīng)重視教材,用好教材.在筆者的教學(xué)過程中,就對一道教材上的習(xí)題進行了深入的探究,現(xiàn)將研究過程展示如下,以饗讀者.

一、探究緣起

在上述解法中,計算過程均正確,錯誤的根源在于sin(α+β)正負(fù)值的判斷.在上述解答過程中可知α+β,α-β的余弦值均為唯一值.而如何判斷其正弦值的正負(fù)呢?一般解法在于求解出α,β的正、余弦值,再進行求解.此法的運算量太大,且忽略了三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì).為此,筆者從如下六個角度對該問題進行了分析.

二、解法分析

評注：上述四種解法的本質(zhì)均值在對兩個條件進行等價變形,充分地利用恒等變換的相關(guān)公式,要求學(xué)生熟悉相關(guān)的公式并能夠靈活運用.

評注：該解法將三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列,最終通過解方程求得結(jié)果,形式雖然新穎,但其本質(zhì)仍是利用同角函數(shù)的性質(zhì).其亮點主要在于溝通了兩個知識板塊之間的聯(lián)系,但轉(zhuǎn)化后的運算量較大,不易于推廣至一般情況.

評注：與上述解法相比,該解法通過幾何的角度進行解釋,直觀明了,運算量小,且易于推廣.

三、背景探究及變式推廣

前四種解法的關(guān)注點在于條件的變形,以及和差化積等公式的運用上.其本質(zhì)上是相同的,但并不能說明所求式是否有兩解.解法五屬于構(gòu)造證明,若繼續(xù)求解可求出所有角的三角函數(shù)值,但也不易于推廣.解法六通過構(gòu)造向量及單位圓,從幾何層面進行解釋,可以很好的解釋其存在唯一解的原因.我們還可以基于解法六探究該問題的一般形式.

基于上述分析,還可編制如下變式.