精心設計問題,讓知識自然生長*
——以微專題研學課例《同構》教學設計為例

江蘇省如東高級中學 (226400) 朱明明

同構作為一種重要的數學解題方法,在解決一些數學壓軸試題時大顯身手,以其精巧的結構同化構造化繁為簡,起到“四兩撥千斤”的效果．因此,同構方法也越來越引起廣大師生的重視．然而,筆者發現,在教學實踐中,大多老師往往給出若干種固定的同構模型,把同構方法作為一種變形技巧要求學生掌握,讓學生通過套用現成的同構模型去解題．這種做法雖然有一定的效果,但由于學生并未真正理解知識源頭與生成過程,在遇到陌生問題時學生往往手足無措,一籌莫展．筆者在教學中探索通過精心設計問題,讓“同構”知識通過學生的自主活動自然生長,使學生在同構知識研學的過程中思維達到應有的深度,收到了較為理想的教學效果．現將教學案例記述如下,與同行共同探討．

1.從簡單問題入手,讓學生感受同構方法魅力

先看兩道大家熟悉的問題(投影):

問題1 已知兩條直線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都經過點A(1,2),求經過兩點P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直線方程．

問題2 若2x-2y<3-x-3-y,則( )．

A．ln(y-x+1)>0 B．ln(y-x+1)<0

C．ln|x-y|>0 D．ln|x-y|<0

第1題在學生求解的基礎上引導學生發現a1+2b1+1=0,a2+2b2+1=0兩式的結構相同,進而依照此結構構造一個使得點P1(a1,b1),P2(a2,b2)的坐標均滿足的方程x+2y+1=0．第2小題通過將條件2x-2y<3-x-3-y中的變量分離,得2x-3-x<2y-3-y(*),學生觀察兩邊結構構造函數f(x)=2x-3-x,顯然f(x)在R上單調遞增,(*)即f(x)0,由于y-x+1>1,故ln(y-x+1)>ln1=0,知A選項正確．這兩道題目比較基礎,其中第1小題來源于教材(蘇教版2019版選擇性必修一第19頁第13題),讓學生通過熟悉的、簡單的題目初步感受“同構”——構造結構相同的式子,把它們具有的相同結構提取出來,進而通過研究該結構具有的性質來解決問題．

2.問題深化,讓學生理解同構的底層邏輯

投影例1,讓學生先思考．

例1(1)(2022屆南京、鹽城高三二模)已知實數a,b∈(1,+∞),且2(a+b)=e2a+2lnb+1,e為自然對數的底數,則( )．

A．1

C．2a

引導學生進行思路分析:觀察到所給條件中有兩個變量,首先考慮將變量分離,即e2a-2a-1=2(b-lnb-1),注意到方程左邊為指數式和多項式的形式,右邊為對數式和多項式的形式,可以考慮指對互化．將等號右邊的b改寫為elnb,從而有e2a-2a-1=2(elnb-lnb-1)．注意到式子的結構特征——相同結構,聯想到構造函數f(x)=ex-x-1(x>0),利用f(x)在(0,+∞)上單調增且f(x)>0,得f(2a)=2f(lnb)>f(lnb),所以2a>lnb,即b2(ea-a-1),所以f(2a)=2f(lnb)>2f(a),所以aea,因此選D．

接著讓學生再反思:為什么要將等號右邊的b改寫為elnb?學生發現目的是為了構造出結構相同的式子．那么,還有沒有其它的構造方法?引導學生觀察:剛才是將等號右邊化為與左邊相同的形式．能不能右邊不變,將左邊的式子向右邊靠攏?即將2a改寫成lne2a,然后構造函數g(x)=x-lnx-1(x>1)即可．

在解決了變式問題后,指對同構的本質就是轉化——靈活運用兩個恒等式x=elnx以及x=lnex將指對共存的式子化成同一種結構形態,從而確定同構函數,利用單調性等性質解決問題．變形過程中有時需要結合移項、通分、對兩邊同時加(或乘)某式、取對數等手段．

3.真題賞析,讓學生領略同構的別樣風采

例2 (2020年山東卷理21題)已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna．若f(x)≥1,求a的取值范圍．

思路分析2：(構造函數F(x)=xlnx)

通過本題分析引導學生發現,在指對共存型的恒成立問題中巧妙地使用同構法,能夠大大地簡化解題過程、回避繁瑣的計算．思路1先根據指對式的一致性(互化)進行變形后,發現式子中局部的一致性,進而進行同構;思路2和3則是先通過局部運算對式子進行整理,然后再利用指對式的一致性進行變形得到同構形態．同構法重在觀察,巧在構造,質在轉化．從某種意義上來講,指對的跨階同構最根本的思想是轉化與化歸,從局部的運算、變形,到適當的配湊,最終達到轉化成“同一結構”的目標．

同構作為一種“巧妙”的解題方法,實則通過分析代數式的結構特征,揭示式子間的內在聯系,挖掘其中蘊藏的同型與共性,并通過構造相同(或相似)的結構模型實現問題的求解,從而同構法在解方程(不等式)、證明不等式、比較大小、數列乃至解析幾何等方面都有著廣泛的應用．本節課從教材習題出發,從簡單的問題入手,讓學生在感受同構的方法魅力的基礎上將問題進一步深化,讓學生在仔細觀察其外形結構的基礎上深入剖析其本質屬性,理解同構的底層邏輯,有利于學生把握同構轉化的內在本質;最后通過高考真題賞析,讓學生領略同構的別樣風采．這樣的處理方式,讓學生從知識的底層邏輯剖析,有助于培養學生觀察能力、想象能力、構造能力和創新能力,有效提升學生的數學學科素養．