對比中尋找差異 差異中達成共識
——以一節微專題復習課為例

安徽省合肥市第四中學 (233000) 李 敏 管良梁

解三角形是高中數學教學的一個重要內容,也是高考的熱點之一.解三角形周長范圍問題是解三角形問題的一部分,由于涉及的知識點多,靈活性大,綜合性強,往往成為學生的難點.因此,在高三二輪復習過程中,可安排一節微專題課.本微專題通過學生對一道例題分析、書寫,回憶解決這類問題的兩種方法,同時對學生練習中出現的不同解答進行對比,在對比中尋找不同解答的差異,對差異產生的原因進行分析,最終達成解決這類問題的共識.

1 例題解答

教師：哪位同學來說說你的想法?

學生1：利用余弦定理求得A的值,再利用正弦定理將b,c分別用sinB和sinC表示出來.根據條件和所求的A值,將C用B表示出來,最后用輔助角公式將b+c表示成關于B的三角函數.根據B的范圍求得b+c的取值范圍,這樣就可以求得ΔABC的周長的取值范圍.

教師：分析的很好,請把解答過程寫在黑板上書寫下來.還有其他的解法嗎?

教師：分析的很好,也請你把解答過程寫在黑板上.

教師：通過兩位同學的分析,我們在此回憶了求三角形的周長范圍問題常規方法有兩種:一是依據題意建立目標函數,利用目標函數的有界性求解;二是依據基本不等式的性質求解.

教師對兩位同學的書寫進行點評,針對學生1的解答過程強調B的取值范圍,針對學生2的解答過程強調不等式等號成立的條件.

2 反饋練習

已知銳角ΔABC內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=1,2acosC+c=2b.

(1)求角A;

(2)求ΔABC周長的取值范圍.

學生4的解答：(1)略(與學生3的解答基本一致).

將學生3、學生4和學生5三位同學的解答過程用多媒體同屏展示,并進行對比.

教師：哪位同學來說說,同學3和同學4兩位同學解答的差異?

學生6：方法上有差異,但是結果一致.

教師：同學4和同學5兩位同學解答過程有什么不同?

學生7：方法一致,但是結果不同.

教師：通過對三位同學解答過程的對比,到底哪位同學的解答過程是正確的呢?

學生：(學生齊答)學生5.

教師：對比例題和反饋練習,已知條件有什么差異?

學生8：例題是在任意三角形下進行的,反饋練習是在銳角三角形下進行的,所以條件不同.

教師：任意三角形和銳角三角形,對我們解題有什么影響嗎?

學生9：如果依據題意建立目標函數,利用目標函數的有界性求解的話,就需要注意角的范圍.因為是銳角三角形, 所以三個內角都是銳角,根據這個條件縮小自變量(角)的范圍.如果根據基本不等式的性質來求解的話,就需要注意受到三個角都是銳角的影響,兩邊之和不止大于第三邊.如果在銳角三角形中還是應用兩邊之和大于第三邊的話,就會使得b+c的范圍變大.

教師：回答的很好,通過對學生4和學生5的解答的對比,很容易發現,銳角三角形使得兩邊之和的范圍縮小了.我們也可以借助圖形來理解銳角三角形中兩邊之和范圍的變化.

圖1

教師：通過前面的對比、分析,你有什么感悟呢?

學生10：以后遇到這類問題時,如果是任意三角形兩種方法都可以,最好是應用方法二,因為方法二的計算量要小一些.如果是銳角三角形,就應用方法一,這樣準確率要更高一些.

教師：回答的很好.

3 教后反思

3.1 以學生為主體

通過一輪的復習,學生大都能掌握基本知識、基本技能、基本方法和基本思想,有了一定的解題能力.因此,在二輪復習中教師要放手,讓學生自主學習.在學生解答出現問題時,教師要及時幫助他們分析問題所在,幫助他們把所學的知識連成線,鋪成面,制成網,梳理出知識結構,使之有機的結合在一起.

3.2 認真細致審題

解題的第一步就是審題,認真細致的審題是成功解答的前提.很多學生不重視審題,很多時候還沒有弄清問題就進行解答,導致解答錯誤而丟分.通過認真細致審題了解問題的條件和結論,通過認真細致審題充分挖掘每一個條件的內涵和隱含的信息,發揮條件的解題功能.

3.3 規范解答過程

答題時書寫要規范整潔,注重解答步驟完整性,必要的證明過程和演算步驟不可缺少.在二輪復習中要將規范答題落到實處.要養成良好的答題習慣,做到答題規范,需要從點滴做起,重在平時堅持不懈.