基于MPC的自動泊車系統(tǒng)軌跡跟蹤控制分析

李世豪，付子揚，呂 洋

（長安大學 汽車學院，陜西 西安 710064）

進入二十一世紀以來，我國汽車銷量持續(xù)增長，2009 年我國轎車的總銷售額第一次超過了美國市場，成為世界上第一大汽車生產(chǎn)市場。截至2020 年第一季度，中國汽車保有量仍達到了2.6億，其中乘用車保有量將達到2.1 億輛[1]。隨著汽車普及程度的不斷提升，引發(fā)了諸如碰撞事故、交通擁堵、環(huán)境多變、泊車困難等一系列問題，尤其對于一些經(jīng)驗不足的乘用車駕駛員而言，在遇到狹窄車位時，泊車過程會變得愈發(fā)困難，不僅影響交通流暢、耗費大量時間，而且長時間的怠速工況會減少發(fā)動機壽命、污染環(huán)境，甚至會出現(xiàn)交通事故。美國交通安全研究調(diào)查指出，在泊車過程中出現(xiàn)的車禍占了各種事故的44%，其中約有半數(shù)以上的泊車事故是由駕駛員經(jīng)驗不足、操作不當導致的[2]。因此，為改善交通環(huán)境，減少事故發(fā)生，對于自動泊車系統(tǒng)的研究具有重要意義。

1 車輛運動學建模

設計的模型預測控制器精確與否，受制于是否建立合理的車輛運動學模型或動力學模型，而泊車工況中車輛處于低速運動，一般不需要考慮動力學問題。車輛運動學模型如圖1 所示。

圖1 車輛運動學模型

在大地坐標系XOY中，為了得到汽車的轉向運動模型，假定汽車在某一時刻作直線運動，或是圍繞著一個點作圓周運動，并忽略懸架的影響，其中，（Xr,Yr）和（Xf,Yf）分別為車輛后軸中心和前軸中心在慣性坐標系下的坐標；δf為汽車前輪偏角；vr為車輛在后軸中心處的速度；L為軸距。根據(jù)車輛運動學關系，建立如下方程：

2 預測模型建立

由式（1）可知，系統(tǒng)輸入為u（v,δ），狀態(tài)量為χ（x,y,φ）。其一般形式為

對于已知的參考路徑，其上的每個點都滿足方程（2），r表示參考量，則可表示為

其中，χr=[xryrφr]T，ur=[vrδr]T。

對式（2）采用泰勒級數(shù)在參考軌跡點展開，忽略高階項：

將式（4）與式（3）相減，可以得到：

式（5）即為線性化的無人駕駛車輛誤差模型，對其進行離散化處理：

3 目標函數(shù)設計

目標函數(shù)的設置要能夠確保無人駕駛汽車準確而迅速地跟蹤上目標軌跡。所以必須優(yōu)化系統(tǒng)狀態(tài)量的偏差和控制量[3]。采用如下形式的目標函數(shù)[4]：

式中，Q和R都是權重矩陣，式（7）中等號右端第一項表達了系統(tǒng)對軌跡跟蹤的響應能力，而第二項表達了對控制量變化率的約束。為防止因被控系統(tǒng)控制量突變而導致控制量連續(xù)性[5]受到影響，將目標函數(shù)做如下轉化：

式中，Nc為控制時域；Np為預測時域；ε為松弛因子；ρ為權重系數(shù)。

通過推導能夠得出系統(tǒng)的預測輸出表達式：

4 約束條件設計

確定控制量極限約束和控制量增量約束：

通過對代價函數(shù)求解，可得到控制增量，因此，對于約束條件而言，也應以控制增量或者控制增量與轉換矩陣相乘的形式來表示，所以對式（10）做如下轉化：

將式（8）目標函數(shù)轉換為標準二次型，并結合約束條件可得

在完成各個控制周期內(nèi)對式（13）的計算后，在控制時域中可得到一組控制增量：

將控制序列中的第一個元素作為實際的控制增量作用于系統(tǒng)，隨即進入下一個控制周期后，重復以上步驟，這樣便實現(xiàn)了對車輛的軌跡跟蹤控制。

5 基于運動學的MPC軌跡跟蹤仿真分析

在仿真過程中取車速v=1 m/s，設置初始時刻t0=0，末端時刻tfinal=14 s；將初始狀態(tài)設置為x0=0，y0=0，Simulink 利用（from workspace）模塊調(diào)用參考路徑信息；車位尺寸取wd=6.5 m，Lt=2.5 m；預測時域Np=20，控制時域Nc=5，控制周期T=0.02 s。仿真工具采用CarSim/Simulink，仿真模型如圖2 所示。

圖2 CarSim/Simulink 聯(lián)合仿真平臺

參考現(xiàn)有無人駕駛車輛平臺的整車配置與參數(shù)，在CarSim 中搭建了整車模型，主要車輛參數(shù)如表1 所示。

表1 參考車輛參數(shù)

仿真結果如圖3 所示，其中圖3(a)表示車輛跟蹤參考軌跡時坐標的變化情況，圖3(b)表示軌跡跟蹤的偏差。在圖中可以分析出，車輛在控制器的作用下能準確地跟蹤上期望軌跡，系統(tǒng)跟蹤的偏差最終無限接近于0，跟蹤效果良好。圖3(c)和圖3(d)反映了跟蹤過程中控制量隨時間的變化，在整個跟蹤過程中控制量始終保持在合理值約束范圍，不但跟蹤響應速度快，而且保證了平穩(wěn)性。

圖3 跟蹤軌跡結果與跟蹤偏差

6 結論

本文主要研究了MPC 軌跡跟蹤控制器對于路徑的跟蹤效果，由于泊車時車輛速度保持在較低水平，一般不需要著重考慮操縱穩(wěn)定性，但在泊車時需要考慮駕駛員和乘客的感受，因此，需要將控制量增量添加到代價函數(shù)中，來兼顧汽車平順性進行研究。由仿真結果圖可以得出，MPC 軌跡跟蹤控制算法能夠使車輛快速且平穩(wěn)地跟蹤上期望軌跡。