橢圓中關(guān)于最值問題的幾個(gè)結(jié)論

山東省鄒平雙語學(xué)校(256200) 姜坤崇

橢圓由于是封閉曲線,因此由它產(chǎn)生的最值問題很多,本文給出橢圓中的幾個(gè)(一類)最值問題的結(jié)論,并通過整體換元的方法轉(zhuǎn)化為求二次或一次函數(shù)最值的方法給以證明.

命題1給定橢圓E:M(m,0)(?a

證明(1)當(dāng)m=0 即點(diǎn)M為原點(diǎn)時(shí)結(jié)論顯然成立.

(2)當(dāng)m ?=0 時(shí),如圖1,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)(y1y2<0),由直線l過點(diǎn)M(m,0)可設(shè)其方程為x=ty+m(t為參數(shù),t的倒數(shù)為l的斜率),代入E的方程整理得

圖1

由于y1、y2是關(guān)于y的二次方程①的兩個(gè)實(shí)根,則由韋達(dá)定理得

由兩點(diǎn)間的距離公式,考慮到x1=ty1+m,x2=ty2+m,并將②、③式整體代入得

命題2給定橢圓E:M(m,0)(m≥0,m ?=a)是x軸非負(fù)半軸上的一定點(diǎn),過M引直線l交E于不同的兩點(diǎn)A、B.

(1)若0 ≤m

(2)若m>a,則當(dāng)l與x軸重合時(shí)|MA|·|MB|取得最大值m2?a2.

證明設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線l的方程為x=ty+m(t為參數(shù)),則同命題1 的證明一樣得到③式.而x1=ty1+m,x2=ty2+m,所以同理,于是由③式得.

(1)若0 ≤m

(2)若m>a,設(shè)當(dāng)l與E相切時(shí)對(duì)應(yīng)的斜率為k1,對(duì)應(yīng)的則由得從而0

綜合(1)、(2),命題2 得證.

命題3給定橢圓E:M(m,0)(m≥0,m ?=a)是x軸非負(fù)半軸上的一定點(diǎn),過M引直線l交E于不同的兩點(diǎn)A、B.

(1)若0 ≤m

(2)若m >a,則當(dāng)l與x軸重合時(shí)|MA|2+|MB|2取得最大值2(a2+m2).

證明當(dāng)m=0(即點(diǎn)M在原點(diǎn))時(shí)易得結(jié)論:當(dāng)l與x軸重合時(shí)|MA|2+|MB|2取得最大值2a2,當(dāng)l與x軸垂直時(shí)|MA|2+|MB|2取得最小值2b2.以下設(shè)m>0.

設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),直線l的方程為x=ty+m,同命題1 的證明一樣得到①、②、③式.又x1=ty1+m,x2=ty2+m,所以由②、③式可得

(1)若0

(2)若m>a,設(shè)當(dāng)l與E相切時(shí)對(duì)應(yīng)的斜率為k1,對(duì)應(yīng)的則由從而0a及2a2+c2>3c2可得(2a2+c2)m2>3a2c2,所以所以f(v)在上為減函數(shù),所以即2(a2+m2).

又當(dāng)l與x軸重合時(shí)可求得|MA|2+|MB|2=2(a2+m2),故當(dāng)l與x軸重合時(shí)|MA|2+|MB|2取得最大值2(a2+m2).

綜合(1)、(2),命題3 得證.

命題4 給定橢圓E:M(m,0)(m≥0,m ?=a)是x軸非負(fù)半軸上的一定點(diǎn),過M引直線l交E于不同的兩點(diǎn)A、B.

(4)若m>a,則當(dāng)l與x軸重合時(shí)取得最大值.

證明仿命題2、3 的證明分別得,所以

又當(dāng)l與x軸重合、垂直時(shí)易分別可求得故當(dāng)l與x軸重合時(shí)取得最小值當(dāng)l與x軸垂直時(shí)取得最大值;

(II)當(dāng)m >a時(shí),設(shè)當(dāng)l與E相切時(shí)對(duì)應(yīng)斜率的倒數(shù)為t1,則由得令則由?(a2+b2)m2+a2c2

綜合(I)、(II),命題4 得證.

命題5給定橢圓E:M(m,0)(m≥0,m ?=a)是x軸非負(fù)半軸上的一定點(diǎn),過M引直線l交E于不同的兩點(diǎn)A、B.

(1)若0 ≤m

(2)若m=c(即點(diǎn)M為E的焦點(diǎn)),則為定值;

(3)若c

(4)若m>a,則當(dāng)l與x軸重合時(shí)取得最大值.

證明仿命題2、4 的證明分別可得,|MA| · |MB|=

(I)當(dāng)0 ≤m

(i)當(dāng)m=c時(shí),c2?m2=0,此時(shí)為定值為定值;

(ii)當(dāng)m ?=c時(shí),c2?m20,由及t2≥0可得0

(1′)若0 ≤m

而當(dāng)l與x軸重合、垂直時(shí)易分別可求得故當(dāng)l與x軸垂直時(shí)取得最大值當(dāng)l與x軸重合時(shí)取得最小值;

(2′)若c

(II)當(dāng)m>a時(shí),⑨式可化為