圓錐曲線中一類面積為定值問題的探究

江蘇省常州市第二中學(xué)(213000) 王強

《數(shù)學(xué)通報》2022年第6 期“數(shù)學(xué)問題解答”第2662 號問題如下:

問題如圖1,設(shè)E1:m(n >m >0),在E1上取一點D(x0,y0),向E2取作兩切線,切點為A,B,證明:?DAB上的面積為定值.

圖1

問題給出了具有相同離心率的兩個共軸橢圓的一個美妙結(jié)論,文[1]中利用解析法證明了這一結(jié)論,即?DAB上的面積為定值那么共軸同率橢圓(雙曲線、拋物線)還有類似的面積為定值的結(jié)論嗎? 筆者對此進行了研究,借助GeoGebra 軟件先直觀呈現(xiàn)再推理論證,得到了更多類似的面積為定值的結(jié)論,整理出來與讀者共享.

性質(zhì)一如圖2,設(shè)E1:m(n >m >0),在E1上取一點P向E2取作兩切線,切點為A,B兩切線與E1分別交于C,D兩點,則?PCD的面積為定值.

圖2

由文[2]中的性質(zhì)一和性質(zhì)四可得點A,B分別為線段PC,PD的中點且AB//CD,則?PCD的面積為?PAB面積的4 倍,結(jié)合圖1 中的結(jié)論可得定值.

性質(zhì)二如圖3,設(shè)E1:m(n >m >0),過E2上任一點P引E2的切線交E1于A,B兩點,則?ABO的面積為定值.

圖3

由文[2]中的性質(zhì)三可得性質(zhì)一中?ABO的面積為定值.

性質(zhì)三如圖4,設(shè)E1:m(n >m >0),過E2上任一點P引E2的切線交E1于A,B兩點,設(shè)E1上A,B兩點處的切線交于點C,則?ABC的面積為定值.

圖4

證明設(shè)P(x0,y0)(y00)是E2上任意一點,A(x1,y1),B(x2,y2),則切線AB的方程為將其與橢圓方程聯(lián)立消去y得

因為切線AC及切線BC的方程分別為

設(shè)切線AC與BC的交點C(x3,y3),聯(lián)立②③可得x3=再求點C到直線AB的距離因為

則?ABC的面積為又當(dāng)y0=0 時,綜上所述,?ABC的面積為定值.

注在性質(zhì)三的推理論證中還意外收獲一個美妙結(jié)論,即交點C的軌跡方程為,表示交點C始終在另一個共軸同率的橢圓上.

性質(zhì)四如圖5,設(shè)E1:m(n>m>0),在E2上取一點P,向E1取作兩切線,切點為A,B,兩切線與E2分別交于C,D兩點,則?PAB的面積為定值.

圖5

性質(zhì)四和下面的性質(zhì)五、性質(zhì)六,可以參照性質(zhì)三的證明過程進行論證,此處從略.

如圖(5),由文[2]知共軸同率雙曲線具有性質(zhì)切點A,B分別是PC,PD的中點,再結(jié)合性質(zhì)四可得到?PCD的面積為定值.

性質(zhì)五如圖6,設(shè)E1:m(n >m >0),過E1上任一點P引E1的切線交E2于A,B兩點,則?ABO的面積為定值.

圖6

性質(zhì)六如圖7,設(shè)E1:m(n >m >0),過E1上任一點P引E1的切線交E2于A,B兩點,設(shè)E2上A,B兩點處的切線交于點C,則?ABC的面積為定值.

圖7

利用GeoGebra 動態(tài)數(shù)學(xué)軟件進一步探索,筆者發(fā)現(xiàn)共軸同距(對稱軸相同、焦點到準線的距離相同)的兩拋物線也有類似的面積為定值的性質(zhì).

性質(zhì)七如圖8,設(shè)E1:y2=2px,E2:y2=2px+m(p >0,m >0),在E2上取一點P,向E1取作兩切線,切點為A,B,兩切線與E2,分別交于C,D兩點,則?PAB的面積為定值.

圖8

證明設(shè)P(x0,y0)是E2上任意一點,A(x1,y1),B(x2,y2),則切線AB的方程為yy0=p(x+x0). 將其與y2=2px聯(lián)立并消去x得y2?2y0y+ 2px0=0,因為所以AB=因為點P到直線AB的距離所以?PAB的面積為.

推論如圖8,設(shè)E1:y2=2px,E2:y2=2px+m(p>0,m >0),在E2上取一點P,向E1取作兩切線,切點為A,B,兩切線與E2分別交于C,D兩點,則?PCD的面積為定值.

證明設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則點A處的切線方程為yy1=p(x+x1),由消去x得y2?2y1y+2px1?m=0.設(shè)C(x3,y3),P(x0,y0),由韋達定理得y0+y3=2y1,所以點A為線段PC的中點.同理可得點B為線段PD的中點,則線段AB是?PCD的中位線,從而?PCD的面積為?PAB的面積的4 倍,結(jié)合性質(zhì)七推論得證.

以下兩個性質(zhì)的證明可類比前面的方法,此處從略.

性質(zhì)八如圖9,設(shè)E1:y2=2px,E2:y2=2px+m(p >0,m >0),過E1上任一點P引E1的切線交E2于A,B兩點,設(shè)E2上A,B兩點處的切線交于點C,則?ABC的面積為定值.

圖9

經(jīng)過GeoGebra 輔助驗證發(fā)現(xiàn),多個共軸同率橢圓(雙曲線、拋物線)也有類似的面積為定值的結(jié)論,如性質(zhì)九.

性質(zhì)九如圖10,設(shè)在E1上取一點P向E2取作兩切線,切點為A,B,過點P向E3取作兩切線,切點為C,D,則P,A,B,C,D,O這六個點中任意三個不共線的點構(gòu)成的三角形的面積均為定值.

圖10

共軸同率橢圓、雙曲線和共軸同距拋物線一定還有很多優(yōu)美的性質(zhì)等待我們?nèi)ヌ骄?本文僅當(dāng)拋磚引玉.