對兩道拋物線高考題的一點思考*

廣東省中山市中山紀念中學(528454) 謝林濤

一、真題與解答

題目1(2018年高考浙江卷)如圖,已知點P是y軸左側(不含y軸)一點,拋物線C:y2=4x上存在不同的兩點A,B滿足PA,PB的中點均在C上.

(Ⅰ)設AB中點為M,證明:PM垂直于y軸;

(Ⅱ)若P是半橢圓上的動點,求?PAB面積的取值范圍.

題目2(2021年高考乙卷理科)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,且F與圓M:x2+(y+4)2=1 上點的距離的最小值為4.

(1)求p;

(2)若點P在M上,PA,PB是C的兩條切線,A,B是切點,求?PAB面積的最大值.

題目1 的解答(I)的方法1.設PA,PB的中點分別為D,E,設A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),則兩式相減得(y1+y2)(y1?y2)=4(x1?x2),所以直線AB的斜率.同理可得直線DE的斜率,因為AB//DE,所以kAB=kDE,因此y1+y2=y3+y4,所以AB中點M的縱坐標與DE中點M′的縱坐標相同,即MM′垂直于y軸,又P,M,M′三點共線,所以PM垂直于y軸.

(I)的方法2.設P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),因為點A及PA的中點都在拋物線上,所以,再代入后式整理得因為點B及PB的中點都在拋物線上,同理可得所以y1,y2為方程的兩個根,由韋達定理所以點M的縱坐標與點P的縱坐標相同,即PM垂直于y軸.

(II)由(I)可知

題目2 的解答(1)p=2(過程從略).(2)設P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),易得切線PA的方程為y?y1=,將代入得同理切線PB的方程為又P(x0,y0)既在切線PA上,也在切線PB上,所以這說明A(x1,y1),B(x2,y2)兩點都在直線上,即直線為直線AB,將其與x2=4y聯立,整理得x2?2x0x+4y0=0,所以點P到直線AB的距離于是?PAB面積在M:x2+(y+4)2=1 上,即故當y0=?5 時,S?PAB取得最大值,最大值為.

將①的前式寫成

評注經過計算,我們發現題目1 和題目2 中?PAB面積的面積的表達式非常類似,于是筆者大膽猜測如果將題目1 中的“中點”和題目2 中的“切點”改為一般的“分點”,應該會有更一般的結論,下面分享筆者發現的拓展結論.

二、結論拓展

已知點P(x0,y0)是拋物線C:y2=2px外一點,A,B是拋物線C上不同的兩點,AB的中點為M.

結論1若PA,PB的中點都在拋物線上,則PM垂直于y軸,且?PAB的面積為.

結論2若PA,PB是拋物線的兩條切線,A,B是切點,則PM垂直于y軸,且?PAB的面積為.

結論3若直線PA與拋物線交于另外一點D,直線PB與拋物線交于另外一點E,且則PM垂直于y軸,且?PAB的面積為.

結論4若直線PA與拋物線交于另外一點D,直線PB與拋物線交于另外一點E,且直線PM與拋物線交于點N,且拋物線在點N處的切線與直線PA,PB分別交于Q,R兩點,則(1);(2)QR//AB;(3)?PQR的面積為

結論5若PA,PB是拋物線的兩條切線,A,B是切點,直線PM與拋物線交于點N,且拋物線在點N處的切線與直線PA,PB分別交于Q,R兩點,則(1)N為PM的中點;(2)QR//AB;(3)?PQR的面積為.

結論1 和結論2 的證明類似題1 和題2 的解答過程,本文不再贅述.

結論3 的證明方法1.設A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),M(xM,yM).由定比分點坐標公式可知由D點在拋物線上,所以代入,整理得同理可得故y1,y2為方程的兩個根,由韋達定理得所以yM=y0,PM垂直于y軸.

方法2.設A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),M(xM,yM),DE中點為M′,則兩式相減得(y1+y2)(y1?y2)=2p(x1?x2),所以直線AB的斜率同理可得直線DE的斜率,因為AB//DE,所以kAB=kDE,因此y1+y2=y3+y4,所以AB中點M的縱坐標與DE中點M′的縱坐標相同,即MM′垂直于y軸,又P,M,M′三點共線,所以PM垂直于y軸.

?PAB的面積

結論4 的證明由(3)知N點的縱坐標yN=y0,則N點的橫坐標于是

對y2=2px兩邊對x求導得,2y·y′=2p,即所以切線QR的斜率直線AB的斜率kAB=因此kQR=kAB,即QR//AB.易知?PQR∽?PAB,相似比為,所以?PQR的面積

類似地我們可以證明結論5,留給讀者自行證明.

現在我們再回頭去看高考題目1 和題目2.由結論3,當λ=1 時即為結論1 的結果,當λ →+∞時即為結論2 的結果.再由結論1,當p=2 時即可得到題目1 中的結果,由結論2,當p=2 即可得到題目2 的結果(交換x,y的位置).

三、備考建議

高考是一個選拔性考試,數學是高考選拔人才的重要學科,數學高考題越來越靈活多變,這就要求我們能夠在靈活多變的表象下,透過表象看本質.在高考備考中,需要教師專研高考題,特別是同類的高考題,找到相似處,發現規律,揭露其數學本質,教師看清楚了題目的本質,學生才能做到舉一反三,觸類旁通.教師可以將數學閱讀與寫作引入課堂,改過去“講練結合”為“講練讀寫四結合”,優化課堂結構,指導學生做數學筆記(疑問性、感觸性、梳理性筆記),提高學生的理解、轉化、抽象、反思、歸納、建構、交流合作等能力,增進師生的情感交流,及時反饋,改進教學策略.學生具有一定數學寫作能力有助于對數學知識的總結和內化,發現數學問題,進一步探究更多數學結論,也是一項必不可少的技能.更加有助于學生的自我監控和探究,專研學問,深化知識結構.