高中數學大概念的提取探析

安樂樂 劉媚

摘?要：《普通高中數學課程標準》（2017年版2020年修訂）提出“課程內容聚焦學科大概念，促進學科核心素養的落實”的理念。大概念是將素養落實到具體教學中的“錨點”，大概念提取研究一方面立足于對課程標準的深入理解，另一方面也是基于對大概念教學所面臨的現實問題的積極思考。文章嘗試以人教A版必修教材中的“概率”單元為例，通過對課標、單元、每節學習內容的深入分析，從中提取大概念，并對其進行簡明論證。希冀為我國基礎教育階段基于大概念的教學實踐做出有益探索。

關鍵詞：高中數學；數學大概念；大概念提?。桓怕?/p>

大概念起源于國外，20世紀60年代初，美國著名教育家布魯納（J.S.Bruner）提出的“學科基本結構”可以認為是大概念的起源。布魯納指出：“學科基本結構是指學科的基本概念、基本原理及其相互之間的關聯性”［1］。隨后，國際學界諸多研究者沿著這一思想不斷思考和探索，使得有關“大概念”的理論不斷發展、完善。通常來說，大概念是指處于重要地位，兼具認識論、方法論和價值論三重意義的概念、觀念或論題。數學大概念包括數學的核心概念，主要的數學思想方法、重要的數學技能、解決問題的一般思路、數學觀念［2］。根據大概念提取路徑的現有研究成果，結合概率單元核心內容的實際情況，本文將選用“自上而下”大概念的四條提取路徑：課程標準、學科核心素養、專家思維、概念派生來提取“概率”的大概念［3］。

一、概率單元分析

概率單元在新人教A版必修教材中的內容包括：隨機事件與概率、事件的相互獨立性、頻率與概率［4］。其單元知識結構如圖1所示。

概率單元的學習有助于學生加深對隨機現象的理解與認識；體會數學中常用的統計推斷、隨機、模型化、具體到抽象、轉化與化歸、特殊到一般（歸納和類比）、分類討論等思想方法；形成探究概率的思路，提升學生數學核心素養。

二、單元知識的邏輯梳理

學生在初中對隨機事件、試驗結果等可能條件下概率的計算及用頻率估計概率已有初步的認識。新人教A版必修教材中本單元的知識邏輯如圖1所示。其中隨機事件與概率的研究路徑如圖2所示：

研究方法：觀察隨機現象的可能結果，構建試驗的樣本空間。根據隨機事件發生的意義，抽象得到其是樣本空間的子集。根據概率的定義，類比函數的研究過程和方法來構建概率的研究路徑，形成研究方法，得到相關結論。其中函數的研究路徑：預備知識—函數的事實—函數的概念及表示—函數的性質—基本初等函數。容易發現，古典概型與函數中的冪函數、指數函數、對數函數、三角函數等基本初等函數地位相當，但考慮到學生的認知水平，為使其在理解概率的概念和性質時有一個具體實例支撐，將古典概型提前安排至概率的性質之前進行研究。

兩個事件相互獨立性的研究路徑如圖3所示：

研究方法：一方面，明確積事件AB的意義的基礎上，判定積事件AB發生的概率與事件A、B發生概率相關的必然性。通過分析、尋找試驗的共性中得到啟發，從而引入兩個事件相互獨立的定義；另一方面，類比事件A和B互斥，則P（A∪B）=P（A）+P（B），研究事件A和B具有怎樣的關系時P（AB）=P（A）P（B）。從兩個事件非常特殊的關系：互為對立入手，探究兩個獨立事件的性質。在實際應用中，恰是逆過程，先根據實際情境直觀判斷獨立性，然后用定義簡化積事件概率的計算。

頻率與概率的研究路徑如圖4所示：

研究方法：從直觀認識出發，通過設計重復試驗，并利用計算機實施隨機模擬，探究頻率的特性及與概率的關系，從而得到：頻率具有隨機性、穩定性等，當試驗次數較大時，即可用頻率來估計概率。最后將此運用到實際需要中。

三、單元大概念的提取

“自上而下”提取的大概念一般較科學、準確，在很大程度上也是有章可循的。難點在于根據實際情況、適配教學重點難點進行細化或整合。

課程標準是國家課程的重要指導性文件。本單元可從其中提取出如下4個大概念：

（1）統計、概率的研究對象分別是數據和隨機現象，數據中的隨機性是聯系二者的橋梁。

（2）理解“樣本空間”的基礎地位與作用。

（3）重視“古典概”型的特征。

（4）注重“用頻率估計概率”思想方法的價值性。

確定其作為本單元的大概念的原因分析如下：

（1）統計學正是通過隨機現象發現事物的統計規律，在此基礎上認識、把握客觀規律；而隨機現象的認識可從統計理解（隨機抽樣、用樣本推斷總體等）角度展開。具體為：①統計（總體）—概率（樣本空間），統計中的總體無隨機性，但若采用隨機抽樣，則會表現出一定的隨機性；②從概率角度體會抽樣方式對總體統計量的影響；③實際應用中，通過統計發現規律，提出相應的概率模型—利用統計方法，用頻率驗證模型的正確性、科學性。

（2）引入樣本空間是很有意義的：①可利用集合工具（語言），用數學方法研究隨機現象的規律；②有利于理解隨機事件的概念及其關系與運算的意義等。

（3）一方面，實際問題的解決中了解構建概率模型的一般方法，逐步形成模型化思想；另一方面，只有在符合古典概型的兩個特征下，才能定義其中事件發生的概率。

（4）實際問題中確有大量隨機事件發生的概率需要利用頻率來估計，且“用頻率估計概率”這一思想方法幾乎沒有條件限制，適用范圍更廣。

學科核心素養是其育人價值的集中體現。本單元可從其中提取如下兩個大概念：

（1）實際問題情境是數學概念、命題、方法和體系的來源之一，理想成果的獲得需有效發揮數學抽象、邏輯推理、數學建模等素養。

（2）不同語言（自然語言與數學語言）之間的相互轉化是將實際問題數學化的重要手段，更是提升數學抽象素養的重要途徑。

確定其作為本單元的大概念的原因分析如下：

（1）用樣本點表示隨機事件是把現實問題轉化為數學問題的關鍵步驟，在此基礎上才可給出隨機事件的數學刻畫（樣本空間的子集），進而清晰地認識數學結構與體系。

（2）運用特殊到一般的推理，即歸納、類比推理，其不但有助于得到數學結論，更為重要的是有利于構建數學體系。具體為：①樣本空間的概念（隨機試驗的抽象）；隨機事件的概念（實際問題的抽象）；隨機試驗的本質特征（生活實例共性的抽象概括）；概率模型的建立（具備某些特征的隨機試驗的抽象）；事件的獨立性（事件發生互不影響的抽象）。②根據概率的定義，構建概率的研究路徑（函數—概率）；從事件的關系和運算入手，發現概率的性質（度量—概率）；事件的關系與運算的理解（集合—事件）；運用歸納的方式研究概率的性質；從特殊試驗入手得到頻率的特點的一般性結論等。

大概念是專家思維方式的反射。本單元可以此提煉出如下兩個大概念：

（1）對同一問題（對象的概念構建）不同個體會有不同的角度、看法和想法，由直觀描述到數學刻畫，是一個嚴格化、精確化的過程。

（2）信息技術變“無窮”為“有窮”，使“不可能”成為“可能”。

確定其作為本單元的大概念的原因分析如下：

（1）數學對象的概念、定義通常被視為教學的重點，其是后續相關教學內容的基礎。就概率單元而言，隨機事件、事件相互獨立、概率等的定義均是教學的重點，某種程度也可以說是教學難點。而從其直觀意義上升到數學刻畫有重大意義。具體為：①隨機事件的描述性定義：在一定條件下可能發生也可能不發生的事件，同時將必然事件、不可能事件和隨機事件看成是并列的關系；隨機事件的數學刻畫：樣本空間的子集，而將前兩者看作是后者的兩個極端情形。②概率的描述性定義：隨機事件發生可能性大小的量度。其無法確定具體隨機事件的概率。概率的數學刻畫根據實際的需要不斷發展：古典概率定義—概率的頻率定義—幾何概率定義—概率的公理化結構。其均有利于確定具體隨機事件的概率，且逐趨嚴謹、科學。

（2）依據不同的隨機試驗構建相應的隨機數模擬試驗，信息技術使大量重復試驗成為可能。利用計算機產生整數隨機數、模擬某些隨機試驗，不但能提高數據處理的效率，而且有利于更好地體會概率的意義。

大概念之間定是具有非平行關系的，比如關聯、派生等。本單元以此提取如下1個大概念：

2個事件及2個事件的關系是事件關系研究的主要方向，且2個同類事件的關系不一定能夠推廣到2個同類事件的關系。其是由“2個事物及2個事物之間的關系是事物關系研究的主要方向，且2個同類事物之間的關系不一定能夠推廣到2個同類事物的關系”這一跨學科大概念派生而來。它是一條高位的大概念，可以用于幾乎各門學科，而且在實際生活中也非常適用。

確定其作為本單元的大概念的原因分析如下：首先，數學對象關系的研究有助于宏觀地、更高位的理解、把握數學對象。隨機事件關系的研究價值：有助于更好地理解隨機事件的內涵；可以用簡單事件表示復雜事件，進而實現用簡單事件的概率推算復雜事件概率，最終簡化某些復雜概率的計算。其次，數學對象的性質的研究可從兩方面入手：一方面，從定義出發研究其自身的性質；另一方面，從與其他對象的關系出發研究其在關系、運算等中的性質。具體為利用集合的知識對2個事件關系的研究發現，其主要存在如下幾種關系：包含、并事件、交事件、互斥事件、互相對立事件。在概率性質的研究過程中，關注到具有上述關系的事件的概率的關系，研究結論之一：若事件A和B互斥，則P（A∪B）=P（A）+P（B）。以其為基礎可得出：若事件A1，A2，……，An兩兩互斥，則P（A1∪A2∪……∪An）=P（A1）+P（A2）+……+P（An）；同時催生出新問題及與之對應的新結論：事件A和B具有怎樣的關系時P（AB）=P（A）P（B），若事件A和B相互獨立，則P（AB）=P（A）P（B）。但是與上面有所不同，A1，A2，……，An兩兩獨立的條件下，P（A1A2……An）=P（A1）P（A2）……P（An）卻一般不成立。

綜上所述，筆者先依據課程標準做單元（內容、知識邏輯、目標）分析，再依照教材編排，分節逐次分析研究內容、研究路徑和方法、思維方法等。在此基礎上，運用大概念提取的4條路徑提取得到概率單元的9個大概念，同時做了簡明論證。大概念提取是大概念教學的基礎和前提，本文以期為教育工作者理解、轉化并在實際教學中科學有效地提取大概念提供借鑒。

參考文獻：

［1］Bruner?J?S，Lufburrow?R?A.The?Process?of?Education［M］.Harvard?University?Press，1960.

［2］夏繁軍.“數學大概念”的提取與論證［J］.基礎教育課程，2022（Z1）：8794.

［3］劉徽.“大概念”視角下的單元整體教學構型——兼論素養導向的課堂變革［J］.教育研究，2020，41（06）：6477.

［4］普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

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作者簡介：安樂樂（1997—?），女，漢族，陜西彬州人，專業碩士，研究方向：學科教學（數學）。