我們眼中的世界是“乘法”的？

一天晚上，我跟朋友們玩科學知識問答的游戲。我們分成兩組，針對每個問題給出答案，最接近正確答案的小組得一分。

游戲規則既簡單又明確，然而經過幾輪后，一個天文學問題引發了意想不到的爭議。這個問題是地球和月球之間的距離。我們組沒人知道確切的答案，經過商討后給出的答案是80萬千米。另一組的討論似乎更激烈，過了會兒，他們也給出了答案：10千米。

顯然，他們對天文學的了解比我們還要少。世界最高峰珠穆朗瑪峰的高度接近9千米。如果月球距離地球只有10千米，那么爬上珠穆朗瑪峰就差不多可以夠得到衛星了。這個答案很荒謬，我們組似乎勝券在握。

但是，對照正確答案的結果卻讓人感到困惑不已。月球和地球之間的距離實際上是384000千米，我們的答案和正確答案差了416000千米，而另一組的答案只差了383990千米。

毫無疑問，他們的答案比我們的更接近現實，他們贏了。但是，你不覺得這種情況有些不公平嗎？為什么數學似乎告訴我們的是相反的答案呢？為什么計算會斬釘截鐵地偏向那個顯然更離譜的答案呢？

如果花點心思深入探究，可能就會想到很多類似的情況。貓的平均身高是25厘米，拉布拉多犬的平均身高是60厘米，一些細菌的高度是千分之一毫米。因此，就高度而言，與拉布拉多犬相比，貓更接近細菌。貓和細菌的高度差了大約25厘米，但貓和狗的高度差了大約35厘米。

同樣地，這個結果與我們對現實的固有感知背道而馳。貓和狗同屬一個世界，相反，如果貓沒有學過科學知識，它就根本不會知道細菌的存在。細菌如此之小，以至于對于貓既是不可見的，也是不可想象的。

通過類似推理，我們可以給出大量的例子，所有這些例子都有違直覺，但在數學上卻是確切無誤的。那么，如何才能把這些直覺性的思考納入數學的范疇？基本的思路很簡單：按數量級去思考，采取乘法思維，而不是加法思維。

如果蒙上你的眼睛，在你的一只手里放一個重10克的物體，另一只手里放一個重20克的物體，你馬上就能說出哪個物體更重。但如果是兩個分別重10千克和10千克零10克的物體，你就會很難說出哪個更重。然而，這兩組物體的重量之差卻是一樣的：10克。但從乘法的角度來看，重量的變化一目了然：第一種情況從10克到20克，相當于從單倍變成了雙倍；但在第二種情況下，兩個物體的重量只差了0.1%。

視覺也一樣。你是否曾試過在大白天開燈？如果太陽光已經灑滿房間，那么開燈幾乎不會造成任何的改變。相反，如果你在晚上打開同一盞燈，這一次燈光會穿透黑暗，而且看起來灑滿了整個房間。燈光讓我們清楚地看到了片刻之前在昏暗之中無法看到的東西。

但是，天花板上的燈在白天發出的光并不比晚上少。無論是白天還是夜晚，這盞燈都發出同樣多的光。也就是說，從加法的角度來說，兩種情況下的亮度之差是一樣的。但這不是我們雙眼所感知到的“加法的差距”。我們看到的是相對之差，也就是“乘法的差距”。白天，燈光的亮度與太陽光的亮度相比微乎其微；夜晚，掌控一切的是占據優勢的燈光。

回過頭來想想你所有的感覺：視覺、觸覺、味覺、聽覺、嗅覺，甚至還可以想想你對逝去的時間、通過的距離的感知，并以更為主觀的方式想想你情緒的強烈程度。一旦開始以乘法而非加法的思維去思考這些事物，你就會更好地適應所有這些朝你撲面而來的感知了。

（摘自《數學的雨傘下》，人民郵電出版社，張云開圖）