含容電路的命題與解題策略賞析

摘 要：電容器是高中物理中非常重要的元件，也是高中物理教學的重難點。電容器在交流電路和直流電路中都會出現，需要從這兩方面考查含容電路的命題和解題策略。電容器在交流電路中相當于一個電阻，再結合其他物理量的變化來進行電路動態分析；在直流電路中相當于斷路，和電容器串聯電阻相當于導線，電容器兩端電壓等于并聯支路兩端電壓，再分U不變和Q不變來對電路進行動態分析。

關鍵詞：含容電路；交流電路；直流電路；動態分析

電容器是高中物理教學過程中非常重要的一個元件，魯科版在新版教材物理必修第三冊中把“科學探究：電容器”作為學生分組實驗來處理，可見電容器在高中物理的重要性，在高考命題上出現電容器的概率也將變大。因此，理清含容電路的命題思路，找到相應的解題策略是至關重要的。電容器既可在交流電路也可在直流電路中出現，以下我們就從這兩方面出發來進行含容電路的討論。

一、電容器在交流電路中的應用

電容器在交流電路中相當于一個電阻，阻值與fC成反比。電容的作用：通交流、隔直流、通高頻、阻低頻。命題上可以從三個角度出題：電路的頻率和電容器的電容都不變，其他電阻發生變化；電路中的頻率發生變化；電容器的電容發生變化。

以下就從這三個角度闡釋電容器在交流電路中的命題和解題策略，并用例題解析來加深理解。

（一）電容器在交流電路中時，電路的頻率和電容器的電容都不變，其他電阻發生變化，這時電容器的阻值是沒有發生變化的，等效為一個定值電阻，再用程序法來分析電路中的動態變化情況。

（二）電容器在交流電路中時，其他條件都不變，電路的頻率發生變化，把電容器在交流電路中看成一個電阻，這個電阻阻值隨著頻率變大而變小，再用程序法來分析電路中的動態變化情況。這種情況又分為兩種：1.電路中沒有電感線圈；2.電路中有電感線圈。

電路中沒有電感線圈，當電路的頻率發生變化時，就電容器所等效的電阻發生變化，直接用程序法分析電路就可以。

例題如下：（多選題）如圖1所示，燈泡和電容器串聯，并連接在低壓交流電源的兩端，當低壓交流電源的頻率減小時（ ）

A．電壓表的示數將會減小

B．電流表的示數將會減小

C．燈泡將會變暗

D．燈泡將會變亮

答案：BC

解析：因為電源的頻率減小，根據公式可知，電容器等效電阻將會增大，電流將會減小，燈泡兩端電壓減小，電壓表示數會變大，燈泡功率減小，燈泡會變暗，故B、C兩項正確。

2.電路中有電感線圈，當電路的頻率發生變化時，電感線圈等效的電阻也發生變化，電感線圈的等效電阻與fL成正比，接著用程序法來分析電路。

例題如下：如圖2所示，讓三只完全相同的燈泡M、N、P分別和電容器C、電感線圈L、電阻R串聯，接著一起并聯到220V.50Hz的交流電源中，看到三只燈泡的亮暗程度剛好一樣．若保持交流電源的電壓有效值不變，將交流電源的頻率變小到45Hz，則可以觀察到的現象是（ ）

A．三只燈泡亮度均變暗

B．三只燈泡亮度不變

C．M變暗、N變亮、P亮度不變

D．M變亮、N變暗、P亮度不變

思路分析：交流電源的頻率變小到45Hz，根據電阻在交流電路中阻值不隨頻率變化、電感線圈、電容器在交流電路中的阻礙作用的不同，來判斷通過三只燈泡的電流如何變化．

答案：C

解析：因為容抗、感抗、電阻與交流電路的頻率大小的關系，可知交變電流頻率變小，電壓U不變，電阻R不變，則P不變；感抗變小，則N變亮；容抗變大，則M變暗，所以C正確。

（三）電容器在交流電路中時，其他條件都不變，電容器的電容發生變化，電容器等效的電阻隨著電容發生變化，再用程序法分析電路中的動態變化情況。

舉例說明：如圖3所示，一個正方形線圈abcd，邊長L=20cm，匝數N=200匝，在繞著垂直于磁場的對稱軸OO′在勻速地轉動，磁場為勻強磁場，磁感應強度B=0.10T，角速度ω=10πrad/s，發現兩只燈泡均正常地發光。下列說法正確的是（" ）

A.如果減小線圈轉動的角速度ω時，感應電動勢的最大值Em將不變

B.假如從圖中位置開始，則線圈感應電動勢的瞬時值表達式為e=8πcos10πt（V）

C.如果減小電容器C兩個極板間的距離時，燈泡L1將會變暗

D.如果電感線圈L插入鐵芯時，燈泡L2將會變亮

答案：B

解析：根據公式Em=NBωS可得減小線圈轉動的角速度ω時，感應電動勢的最大值Em將減小，故選項A錯誤；根據公式Em=NBωS就可以得線圈感應電動勢的最大值：Em=200×0.1×0.04×10πV=8π（V），因為從線圈平面垂直于中性面開始計時，所以線圈感應電動勢瞬時值的表達式：e=Emcosωt=8πcos10πt（V），故選項B正確；減小電容器C兩個極板間的距離時，根據平行板電容器的決定式可知電容器的電容C增大，則電容器的等效電阻將會減小，就會使流過燈泡L1的電流將增大，根據功率公式可知燈泡L1就會變亮，故選項C錯誤；電感線圈L插入鐵芯時，即會增大了它的自感系數，電感線圈的感抗變大，則流過燈泡L2的電流將會變小，根據功率公式就會知道燈泡L2功率變小，燈泡將會變暗，故選項D錯誤。

二、電容器在直流電路中的應用

電容器在直流電路中，我們用三句話總結它的作用：電容器在直流電路中相當于斷路[1]；與電容器串聯的電阻可以相當于一個電阻為零的導線；電容器兩端的電壓可以認為和與之并聯的支路兩端的電壓相等，如果電容器直接和電源串聯并且沒有其他支路時，電容器兩端的電壓可以認為直接等于電源電動勢[2]。

我們知道了電容器在直流電路中的作用之后，電容器在直流電路中的命題可以從以下兩個方面展開：在直流電路中，開關閉合和斷開瞬間，電容器的充放電電流對電容總電流的影響；在直流電路中，開關閉合穩定之后，電容器的參數變化造成的動態變化分析。以下就從這兩個方面闡釋電容器在直流電路中的命題和解題策略，并用例題解析來加深理解。

（一）在直流電路中，先分析電路的導通情況，電阻的串并聯關系，電容器在直流電路中相當于斷路；再根據電容定義式C等于Q除U，判定電容器上電荷量的變化。

情況1：在開關閉合瞬間，其他直流部分電流馬上穩定，而電容器所在支路電流先比較大后逐漸變小，影響到干路上的電流也逐漸變小。

例如：如圖4所示的電路中，直流電源電動勢為E，S為開關，M、N為兩個完全相同的燈泡，和理想電容器C。下列說法中正確的是（" ）

A．閉合開關S的瞬間，M中有電流通過，N中沒有電流通過

B．閉合開關S的瞬間，M、N中均有電流流過，且最終大小相等

C．斷開開關S的瞬間，M中電流將會反向，N中仍沒有電流

D．斷開開關S的瞬間，M、N中瞬時電流大小相等

答案：D

解析：閉合開關S的瞬間，電流突然增大，M、N均有電流流過，但平穩后，M中仍有電流，N中沒有電流，故選項AB錯誤；斷開S的瞬間，電流突然減小，M、N與電容C組成一個閉合回路，兩個燈泡串聯，它們有瞬時的電流，且大小會相等，故選項C錯，D對。

情況2：在開關斷開瞬間，電容器兩端的電壓發生變化，這時又有兩種情況1.電容器和電源斷開，有其他閉合通路讓電容器放電，和電容器串聯的干路上過的電荷量就是之前穩定電壓時電容器儲存的電荷量，如果有支路，則通過兩條支路的電荷量總和等于總電荷量，兩支路電荷量之比和兩支路電阻成反比。

2.假如是某一個支路斷開，則電容器兩端的電壓發生變化，如果電容器和電源是直接串聯的，則電路中沒有電流，串聯的其他電阻包括內阻不占電壓，則電容器兩端電壓等于電動勢；如果是和電容器并聯的支路發生變化，重新計算支路兩端電壓，把變化后穩定的電壓減去之前穩定時的電壓得到電容器兩端電壓的變化量，就可以求得電容器一個極板所帶電荷量的變化量，則就會知道通過和電容器串聯電阻的電荷量。

例題：電路如圖5所示，已知電源電動勢E=6V，內阻r=1Ω，電容器的電容C=4μF，電阻R1=2Ω，R2=3Ω，R3=7.5Ω。現閉合S1，待電路穩定。

（1）求電容器的帶電量Q；

（2）再閉合S2，求從閉合S2直到電路再次穩定的過程中通過P點電荷量ΔQ。

答案：（1）1.2×10—5C；（2）1.92×10—5C

解析：（1）閉合S1，斷開S2，穩定時R3中無電流通過，據閉合電路歐姆定律可得電流I和電容器兩端的電壓等于R2兩端電壓U2等于IR2，電容器的帶電量為Q等于CU2，聯立解得Q=1.2×10—5C

（2）閉合S2，當電路穩定后，R1與R2串聯后再與R3并聯，可得外電路總電阻，再據閉合電路歐姆定律可得電流I，電容器兩端的電壓等于R1兩端電壓，電容器的帶電量為Q1等于CU1，電容器上極板從帶正電變為帶負電，故通過P點的電荷量為ΔQ等于Q加Q1，聯立解得ΔQ=1.92×10-5

（二）在直流電路中，開關閉合穩定后，電容器的參數發生變化造成電容器的動態變化進行的分析。這種我們分為兩種類型[3]：分別是U不變和Q不變。不管是哪張類型，我們都可以用以下6步完成電容器動態分析的所有題型：

1.根據平行板電容器的決定式C等于εS除4πkd，如果插入介質則ε就變大（空氣的ε等于1，介質的ε都大于1），但是如果插入的是金屬板那不是變化ε而是讓d變小，還可以移動上下板改變S和d，根據公式判斷電容C的變化[4]。

2.由電容的定義式C等于Q除于U來判斷兩種情況動態變化：①如果電容器和電源或支路斷開，則Q不變，根據公式判斷U的變化；②如果電容器和電源或支路一直相連，則U不變，根據公式判斷Q的變化，繼而判斷充電或放電電流的方向。

3.根據平行板電容器中間形成勻強電場E等于U除d，判斷場強E的變化，如果有液滴或小球懸浮在板間，說明二力平衡，根據E的變化，就可以判斷液滴或小球的運動方向，再根據運動過程中電場力做正功還是負功，由電場力做功等于電勢能的改變量來判斷小球電勢能的變化。這里有一個特例需要注意：當Q不變的情況下，變化d，E保持不變，因為E等于U除d，所以E等于除。

4.若小球被固定在平行板間的N點，若B板接地，則先判斷N點和B板的電勢差U等于Ed，若上式無法判斷，則在U不變的情況下，B板接地，A板的電勢也是不變的，就可以判斷A板和N點的電勢差U=Ed。

5.由NB兩點間電壓等于N和B兩點間的電勢差，就可以判斷N點電勢的變化；或者根據A板電勢不變，由AN間的電壓等于A點和N點間的電勢差來判斷N點電勢的變化。

6.最后用電勢能等于電荷與電勢的乘積來判斷小球電勢能的變化。

我們來舉例說明一下：電動勢為E的直流電源（內阻不計）與平行板電容器相連接，電容器下極板接地，靜電計與電容器上極板相連，靜電計帶走的電荷量很少，可以被忽略。現有一帶正電小球被固定于電容器的中間。如果將平行板電容器的下極板豎直向下移動一點距離，則（" ）

A．靜電計指針的張角將會變大，上極板所帶電荷量將會減少；

B．平行板電容器的電容將會變大，上極板所帶電荷量將會變多；

C．若開關S先閉合，再將開關S斷開，又讓下極板向下移動一點距離，則帶電小球所受電場力不變

D．若開關S先閉合，再將開關S斷開，又讓下極板向下移動一點距離，則被固定的帶電小球的電勢能將變小

答案：C

解析：A．由于電容器連接電源，兩端電壓不變，則靜電計兩端的電壓也不變，故靜電計的張角不變，故A錯誤；

B．當電容器的下極板向下運動時，根據平行板電容器決定式可知，當d變大時，電容C將變小，上極板所帶正電荷，電荷量將會減少，故B錯誤；

C．若開關S先閉合，再將開關S斷開，則電容器所帶的電荷量Q不變，又讓下極板向下移動一點距離，則電容器間的電場強度E等于4πkQ除εS，其大小是不變的，故帶電小球所受的電場力也是不變的，故C正確。

D．根據上面分析可知平行板電容器間的場強不變，N點與下極板距離變大，則電勢差增大，N點的電勢變大，故帶正電的小球在該處的電勢能變大，故D錯誤。

結束語

電容器在交流電路和直流電路中都會出現，文章從這兩方面考察了含容電路的命題和解題策略。電容器在交流電路中相當于一個等效電阻，再結合其他物理量的變化來進行電路動態分析；電容器在直流電路中相當于斷路，和電容器串聯電阻相當于一個阻值為零的導線，電容器兩端電壓等于并聯支路兩端電壓，再分別就U不變和Q不變兩種類型的題目來對電路進行動態分析。

參考文獻

[1]林湖，何漪瀅.含容電路的分析與計算[J].中學物理，2006，24（09）：50-52.

[2]張永興.直流電路中的電容器問題[J].中學生數理化（高三版），2006（11）：61-63.

[3]王后雄.教材完全解讀高中物理3[M].武漢：陜西師范大學出版總社，2020：103.

[4]張大洪.含容電路問題研析[J].物理教師，2004（12）：19-21.

本文系福建省教育科學“十四五”規劃2021年度課題“中華優秀傳統文化與中學物理融合教育研究”，（課題編號：FJJKZX21-667）。