基于生長教學策略的等比數列教學設計

摘 要：數學教學要遵循數學知識生長機理和個體的認知特點.學生已有的CPFS結構是數學學習的基礎，喻平教授提出的生長教學策略理論是完善學生CPFS結構的重要方法.數列是蘊含豐富數學思想的特殊函數模型，在該理論基礎上提出有關于“等比數列”的教學設計，可以完善學生“等比數列”的CPFS結構.

關鍵詞：CPFS結構；生長教學策略；等比數列；教學設計

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2023）09-0047-04

0 引言

喻平教授于2002年在其博士論文《數學問題解決認知模式及教學理論研究》中首次提出CPFS結構理論.CPFS結構的核心是概念域（Concept field）、概念系（Conceptsystem）、命題域（Proposition field）和命題系（Proposition system）［1］，這四個部分共同構成了學生的認知結構.在概念學習中，學生如果不能從多角度學習概念，沒有建構好相關數學知識的概念域與概念系，沒有形成概念體系，那么一旦遇到概念的變式問題，學生對問題無法表征，就難以找到解決問題的途徑．對于命題學習也是類似，學生如果沒有構建好數學知識的命題域和命題系，面對問題情境時就無法快速找到與之匹配的命題，就無法找到解決問題的路徑.因此，教學過程的重心就是要構建和完善學生的CPFS結構.

等比數列在數學學習中起著承上啟下的作用.首先，數列是離散的函數，學好數列有助于回顧函數知識，同時等比數列為后續學習導數奠定了重要的理論基礎，是大學學習微積分的重要基礎.《新課標》對等比數列的要求是從生活情境出發，理解等比數列的概念和通項公式的意義;能在具體情境中發現其中蘊含的等比關系;體會等比數列與指數函數的關系［2］.從高考來看，等比數列的考查趨勢逐年遞增.因此，學生在學習時應建立起“等比數列”的CPFS體系，為后續學習提供數學學習方法，搭建起知識框架.

3.5 反思策略環節

引導學生說出等比數列的定義及其通項公式.并帶領學生還原本節課知識網絡體系中所蘊含的數學思想方法.

主要方式為“還課”，要求學生將學習過的數學知識重述給同學或老師聽，并能用多種方法講解，從而構建和完善等比數列的概念系以及所蘊涵的數學思想方法，培養學生學習數學知識和解決問題的能力.

3.6 作業布置

（1）課本P31練習1，2，4

（2）嘗試寫出等比數列通項公式不同的證明方法.

設計意圖：采用一法多證的變式方法完善鞏固學生等比數列的概念域與概念系.

以上是基于喻平教授的生長教學策略理論的“等比數列的定義及其通項公式”的教學設計，通過設計關于等比數列的問題鏈，構建出等比數列的概念域和概念系，提高了學生綜合運用數列知識解決問題的能力，同時注重了等比數列通項公式的證明過程，將具有內在聯系的命題按等價關系或抽象關系進行整理，構建了關于等比數列的陳述性知識體系［9］.并且，在概念的引入和證明過程中讓學生感受到了數學的應用美和抽象美.通過幫助學生建立CPFS知識結構，促使學生在頭腦中形成良好的知識結構網絡，而且在面對變式問題和多樣復雜的命題時能快速檢索出相關的概念、公式、定理等，從而大大提高了解題的速度與準確性.

4 教學啟示

4.1 找到知識的生長點

生長教學策略與建構主義理論的觀點是類似的，兩者都要求新知識的學習要從學生已有的知識經驗出發.教學中要注意到數學知識間的邏輯關系以及結構性與系統性，每個數學知識都不是孤立的點.

4.2 注重變式教學

教師引導學生得到數學知識的概念后，不要著急應用概念解決問題，而是要通過變化概念的非本質特征或呈現概念的錯誤形式突出概念的本質屬性，從不同背景，不同維度來揭示概念的內涵［5］.

4.3 注重“還課”形式

及時的讓學生鞏固已有的知識經驗，包括對數學知識概念和數學思想方法的反思.

4.4 搭建知識網絡體系

找到數學知識間的邏輯關系，促進學生CPFS結構的形成.

參考文獻：

［1］ 喻平.數學問題解決認知模式及教學理論研究［D］.南京：南京師范大學，2002.

［2］ 陳秦，李中平.基于CPFS結構理論的余弦定理教學設計［J］.試題與研究，2022（16）：143-145.

［3］ 鮑紅梅.完善中學生CPFS結構的生長教學策略研究［D］.南京：南京師范大學，2004.

［4］ 劉長春，張文娣.中學數學變式教學與能力培養［M］.濟南：山東教育出版社，2001.

［5］ 傅贏芳，喻平.CPFS結構理論及其對數學概念教學的啟示［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2020（06）：28-33.

［6］ 喻平，單墫.數學學習心理的CPFS結構理論［J］.數學教育學報，2003（01）：12-16.

［7］ 鮑紅梅，喻平.完善中學生CPFS結構的生長教學策略研究［J］.數學教育學報，2006（01）：45-49.

［8］ 林雅馨.CPFS理論視角下高中生學習數列的認知分析［D］.漳州：閩南師范大學，2021.

［9］ 郭施敏.基于CPFS結構理論的導學案編寫——以“等差數列”為例［J］.中學數學研究（華南師范大學版），2018（06）：32-35+10.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2022-12-25

作者簡介：鄧梓聰（1999.9-），男，廣東省東莞人，研究生，從事中學數學教學研究.