靈活換元 巧解高中數(shù)學(xué)難題

摘 要：換元法即變量替換法，是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，也是解決數(shù)學(xué)難題的重要方法.在高中數(shù)學(xué)解題中，靈活植入換元法，可促進(jìn)復(fù)雜結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單化、混亂思路清晰化，最終實(shí)現(xiàn)高效解題.本文分析了換元法的內(nèi)涵和應(yīng)用技巧，并結(jié)合一定的解題實(shí)踐，針對(duì)換元法在數(shù)列、方程、函數(shù)、不等式解題中的具體應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)的探究，旨在為相關(guān)研究提供參考.

關(guān)鍵詞：換元法；高中數(shù)學(xué)；解題；應(yīng)用

中圖分類(lèi)號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2023）09-0026-03

在高中數(shù)學(xué)解題中，在傳統(tǒng)解題思路受限時(shí)，可依據(jù)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，對(duì)題目中的某一變量進(jìn)行轉(zhuǎn)化，并利用各個(gè)變量間的條件轉(zhuǎn)換，促進(jìn)復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，最終完成題目的解答.這種解題方法就是換元法.另外，換元法也是一種重要的數(shù)學(xué)思想，將其靈活應(yīng)用到解題訓(xùn)練中，也是思維訓(xùn)練的重要方式，是促進(jìn)高階思維發(fā)展的重要途徑，有助于強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 換元法內(nèi)涵概述

換元法是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種常見(jiàn)的數(shù)學(xué)解題方法.換元法主要是將題目中部分變量運(yùn)用新的變量進(jìn)行替代.通常，經(jīng)過(guò)換元，能夠使得原來(lái)的題目縮減變量、簡(jiǎn)化形式，最終實(shí)現(xiàn)“化繁為簡(jiǎn)、化難為易、化陌生為熟悉”，以便于學(xué)生高效解答相關(guān)題目.從其本質(zhì)上說(shuō)，換元就是變量代換、轉(zhuǎn)化，解題的關(guān)鍵就是科學(xué)、合理地選擇出“新元”，并將其代入到所求問(wèn)題中.

就換元法的內(nèi)涵來(lái)說(shuō)，常見(jiàn)的主要有三種形式：（1）整體換元：主要是在解題時(shí)，運(yùn)用一個(gè)新元替代原來(lái)題目的一個(gè)部分，進(jìn)而促使問(wèn)題變得更加簡(jiǎn)單.在運(yùn)用換元法解題時(shí)，基本上都需要先對(duì)原來(lái)的題目進(jìn)行變形，之后才可運(yùn)用這一方式進(jìn)行解答；（2）三角換元：這種換元方法常常應(yīng)用到去根號(hào)，變換為三角形式題目的解答中.在運(yùn)用這一換元法時(shí)，常常需要通過(guò)相同的參數(shù)，將兩個(gè)變量表示出來(lái)，以達(dá)到減少變?cè)⒋龠M(jìn)問(wèn)題簡(jiǎn)化的目的；（3）均值換元：主要是在某些數(shù)學(xué)問(wèn)題中，當(dāng)能夠確切地求出兩個(gè)變量和時(shí)，即可借助均值換元的方式進(jìn)行解題.即當(dāng)面臨x+y=S類(lèi)型的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，可采用均值換元的方法，將其轉(zhuǎn)變?yōu)閤=S2+t，y=S2-t之后，再運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行題目解答［1］.

2 換元法在高中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用

2.1 換元法解答數(shù)列問(wèn)題

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中最為重要的知識(shí)體系，也是必考的重點(diǎn).在具體解題中，針對(duì)一些特殊的數(shù)列問(wèn)題，由于其難度系數(shù)比較大，常規(guī)解題思路常常受到限制.此時(shí)，可巧妙運(yùn)用換元法，將原本復(fù)雜的問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，以便于學(xué)生在換元轉(zhuǎn)化中獲得更加清晰的解題思路.

3 高中數(shù)學(xué)換元法解題技巧

在具體應(yīng)用換元法這一解題技巧時(shí)，應(yīng)注意三個(gè)問(wèn)題：首先，掌握常規(guī)換元法的應(yīng)用形式.通常，不同的換元方法都有針對(duì)性的應(yīng)用題目，尤其是針對(duì)三角換元來(lái)說(shuō).學(xué)生唯有在日常解題中，通過(guò)適當(dāng)?shù)貧w納與總結(jié)，才能充分把握換元法應(yīng)用規(guī)律，才能使其在面臨題目時(shí)迅速做出反應(yīng)，找到最佳的換元突破點(diǎn)；其次，認(rèn)真觀察題目形式.針對(duì)高中數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，題目難度系數(shù)逐漸增加，很多條件都具備隱藏性，學(xué)生在運(yùn)用換元法解答問(wèn)題時(shí)，需要對(duì)題目進(jìn)行認(rèn)真觀察分析，梳理其中的條件，才能找到換元的突破點(diǎn).否則，一旦忽視對(duì)題目的觀察與分析，就將面臨寸步難行的困境；最后，關(guān)注等效條件.在借助換元法解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，換元前后的等效性是保證問(wèn)題解答正確的關(guān)鍵.同時(shí)，這也是學(xué)生在解題中最容易忽略的地方，無(wú)論是哪一種類(lèi)型的題目，無(wú)論難度系數(shù)如何，在使用換元法解答問(wèn)題時(shí)，都必須要關(guān)注其等效性［5］.

總之，在高中數(shù)學(xué)解題中常會(huì)遇到一些復(fù)雜的、非標(biāo)準(zhǔn)型的題目，如果按照常規(guī)的解題思路，會(huì)變得十分棘手，甚至面臨著繁雜的運(yùn)算，致使解題無(wú)法正常進(jìn)行.這時(shí)即可嘗試借助換元思想，在不改變題目條件的基礎(chǔ)上，通過(guò)換元法，將復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，并形成明確的解題思路，最終完成題目的高效解答.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 李志明.巧妙換元 解決難題——換元法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.數(shù)理化解題研究，2022（36）：14-16.

［2］ 胡志軍.利用換元法解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的形式探究［J］.數(shù)理化解題研究，2021（30）：10-11.

［3］ 王鳳梅.換元法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.數(shù)理化解題研究，2020（33）：16-17.

［4］ 王秀娣，何玉友.高中數(shù)學(xué)中的換元法［J］.數(shù)理天地（高中版），2020（05）：9-10+8.

［5］ 涂玉遙，張露梅.一元在握：哪里難算換哪里——談?wù)創(chuàng)Q元法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用［J］.中學(xué)生數(shù)學(xué)，2020（05）：31-33.

［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2022-12-25

作者簡(jiǎn)介：程玲強(qiáng)（1984.3-），女，江蘇省連云港人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.