高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想方法的運用策略

【摘要】在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中引入數(shù)形結(jié)合思想方法，能夠加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，提高整體的教學(xué)質(zhì)量以及學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，有助于其核心素養(yǎng)的穩(wěn)步發(fā)展.數(shù)學(xué)是一門邏輯性相對較強的學(xué)科，尤其是高中階段的數(shù)學(xué)知識，在邏輯性以及難度方面出現(xiàn)了明顯的增強.因此，教師按照傳統(tǒng)的教學(xué)方法實施教學(xué)活動，很難滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，教師要做好有效的教學(xué)創(chuàng)新，合理引入數(shù)形結(jié)合的思想方法.基于此，文章闡述了數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用原則，提出了數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略，并舉例說明數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)知識中的運用.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；教學(xué)運用

前 言

在高中階段的教育工作中，數(shù)學(xué)是學(xué)生公認的難度偏高的一門學(xué)科.如果教師繼續(xù)按照傳統(tǒng)的教學(xué)手段對學(xué)生實施填鴨式教學(xué)，開啟題海戰(zhàn)術(shù)，那么只會導(dǎo)致學(xué)生越來越抵觸數(shù)學(xué)，甚至?xí)絹碓胶ε聰?shù)學(xué).因此，教師需要尋找一種能夠?qū)⒊橄蟮闹R以直觀具體的形式展現(xiàn)在學(xué)生面前的教學(xué)手段，恰好數(shù)形結(jié)合思想方法能夠滿足這一要求.教師利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，能夠在一定程度上緩解學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，輔助學(xué)生更加深入地開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動.

一、數(shù)形結(jié)合思想方法的運用原則

第一，等價性原則.教師在引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合思想方法時，圖形與數(shù)的轉(zhuǎn)換必須是相互對應(yīng)、相互吻合的，這樣學(xué)生所進行的學(xué)習(xí)研究才有現(xiàn)實意義.如果未達到這一原則，那么學(xué)生所制作出的圖形或者所使用的圖形便不能完全代表數(shù)字.

第二，雙相性原則.數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)在于以數(shù)助形、以形解數(shù)、數(shù)形互換.因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要在遵循雙向性原則的前提下，合理地利用直觀的圖形代替復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，深化學(xué)生的知識理解，打造高效課堂.

第三，簡潔性原則.運用數(shù)形結(jié)合思想方法的根本目的在于緩解學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力，提高教學(xué)的直觀性認知.如果教師所設(shè)定的數(shù)形結(jié)合過于復(fù)雜，那么其整體的價值便不能發(fā)揮，學(xué)生在開展學(xué)習(xí)活動時也會稍顯吃力，形成適得其反的教學(xué)問題.

二、數(shù)形結(jié)合思想方法的運用策略

（一）注重數(shù)形間的轉(zhuǎn)換

在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)課堂中，學(xué)生會接觸到十分復(fù)雜且多元的知識點，不同的知識點有著不同的重點難點，也有著不同的問題類型以及相應(yīng)的解決方法.為有效緩解學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力，降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，教師可以引入一種合理的教學(xué)手段.例如，在講解“三角函數(shù)”的相關(guān)知識時，教師可以讓學(xué)生先了解三角函數(shù)的定義以及基本內(nèi)涵，以啟發(fā)的形式促使學(xué)生形成三角函數(shù)意識.然后教師可以給學(xué)生布置一些比較基礎(chǔ)的習(xí)題，并要求學(xué)生嘗試以圖形的形式展現(xiàn)問題的推理關(guān)系，形成答案.

例題 已知sin2θ>0，則θ屬于第幾象限角？

解析 在解題過程中，學(xué)生可以直接繪制函數(shù)y=sin2θ的圖像，并根據(jù)sin2θ>0這一已知條件，得出2kπ<2θ<2kπ+π.而后將答案以圖形的形式展現(xiàn)出來，便能夠直接明確θ的具體位置，即θ屬于第一象限角或者第三象限角.在教學(xué)過程中，教師可以先引導(dǎo)學(xué)生回顧三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識，確定學(xué)生理解這一部分的基礎(chǔ)內(nèi)容后，教師就可以引出單位圓的概念，并引導(dǎo)學(xué)生以線段形式展現(xiàn)三角函數(shù)值.通過數(shù)形之間的轉(zhuǎn)換，降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，提高學(xué)生的理解能力.

（二）將數(shù)形結(jié)合與多媒體結(jié)合

在以往的高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，很多教師也會對數(shù)形結(jié)合思想方法進行一定的了解，在課堂上也經(jīng)常會以作圖的方式為學(xué)生解釋一些復(fù)雜的知識點.但是教師手工畫圖的方式難免會存在一定的誤差，導(dǎo)致教師承擔(dān)著較高的教學(xué)壓力.對此，教師可以將數(shù)形結(jié)合與多媒體工具結(jié)合起來，從而提高教學(xué)的精細化程度，增強教學(xué)效果.以幾何圖形為例，在教學(xué)過程中，為了讓學(xué)生更好地對幾何圖形形成了解認識，教師可以提前借助信息技術(shù)制作教學(xué)課件，利用多媒體設(shè)備的動畫軟件，分解幾何圖形，并為學(xué)生動態(tài)化展示幾何圖形的各個部分，以全方位立體化形式培養(yǎng)學(xué)生的空間思維，鍛煉學(xué)生的空間想象能力及抽象概括能力.除此之外，教師可以利用信息技術(shù)豐富學(xué)生所能夠接觸到的虛擬化模型，豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)資源，使之在多元教學(xué)資源的支撐下，產(chǎn)生空間思維，強化自身的核心素養(yǎng).

（三）將數(shù)形結(jié)合融入生活

數(shù)學(xué)與學(xué)生的生活之間具有較為緊密的聯(lián)系，而生活中很多物品也可以作為引導(dǎo)學(xué)生深入數(shù)學(xué)探究的模型.因此，在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法的過程中，教師可以將生活元素與之相互整合，以此更好地豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗.例如，在教室中都會擺放一個鐘表，以便學(xué)生隨時了解時間，而這就是一種十分簡單的數(shù)形結(jié)合.再比如，在高中階段學(xué)生會了解到很多與幾何相關(guān)的知識，而在日常生活中也有很多與幾何相關(guān)的物品或工具.教師將這些素材直接搬到課堂上，不僅能帶給學(xué)生直觀的視覺體驗，而且能讓學(xué)生產(chǎn)生較高的學(xué)習(xí)興趣，會迫切地想要知道這些物品與本堂課有什么樣的聯(lián)系，進而產(chǎn)生學(xué)習(xí)動力.

1.培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣

在正式步入高中之前，學(xué)生分別來自不同的初中學(xué)校，接受了不同教師的指導(dǎo)，所以彼此之間會存在一定的差異，在學(xué)習(xí)時也會有不同的習(xí)慣.比如，當(dāng)遇到學(xué)習(xí)障礙時，一些學(xué)生喜歡與同學(xué)進行討論交流，而一些學(xué)生喜歡獨立思考.在高中階段雖然培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力與獨立能力具有較高的積極意義，但是如果學(xué)生自身能力不足，或沒有掌握正確的學(xué)習(xí)方法，那么一味的獨立學(xué)習(xí)就只是單純的浪費時間.因此，教師需要貫徹“授人以魚，不如授人以漁”的教學(xué)思想，為學(xué)生提供合適的學(xué)習(xí)技巧以及學(xué)習(xí)工具，讓學(xué)生找到正確的學(xué)習(xí)思路.首先，在教學(xué)過程中，教師要讓學(xué)生明確哪些情況下，可以運用數(shù)形結(jié)合的思想方法分析問題，以充分發(fā)揮這一學(xué)習(xí)方法的優(yōu)勢與作用；其次，在日常的習(xí)題評講過程中，針對那些能夠運用數(shù)形結(jié)合思想的習(xí)題，教師要著重講解并詳細為學(xué)生展示這一方法的應(yīng)用步驟與應(yīng)用流程；最后，教師可不定期檢查學(xué)生的作業(yè)，著重查看學(xué)生的解題過程，判斷學(xué)生在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想時存在的問題并及時為其提供指導(dǎo)，在長期的輔助下促使學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，增強課堂教學(xué)的有效性，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).

2.激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師使用數(shù)形結(jié)合方法能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生通過直觀的方式理解知識點.學(xué)生要想學(xué)好數(shù)學(xué)知識就需要保持充足的耐心與毅力，在面對數(shù)字、字符時應(yīng)端正學(xué)習(xí)態(tài)度，主動針對數(shù)學(xué)知識點進行探究.如果學(xué)生長期處于枯燥乏味的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，那么就很容易出現(xiàn)厭煩、抵觸等情緒.所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中為了有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，教師就需要靈活使用數(shù)形結(jié)合思想方法來幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識.一是在講述新知識以前，教師可以使用多媒體、黑板等展示趣味性較強的數(shù)學(xué)圖形來幫助學(xué)生集中注意力.教師通過引導(dǎo)學(xué)生解讀圖形能夠增強數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的效果，同時可以讓學(xué)生更好地理解并掌握數(shù)學(xué)知識，產(chǎn)生學(xué)習(xí)動力.二是在開展立體幾何知識教學(xué)時，教師可以先組織學(xué)生運用所掌握的知識自行制作幾何圖形，鍛煉學(xué)生的動手操作能力，學(xué)好立體幾何知識.教師通過給學(xué)生提供鍛煉的機會，幫助學(xué)生理解立體幾何知識的意義，從而產(chǎn)生深刻的印象.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師使用靈活的數(shù)形結(jié)合思想方法能夠?qū)W(xué)生從傳統(tǒng)學(xué)習(xí)狀態(tài)中解放出來，保持數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動力.教師在講述數(shù)學(xué)知識點時經(jīng)常會為學(xué)生展示相應(yīng)的習(xí)題，并要求學(xué)生探索問題的答案，如果教師只是單純?yōu)閷W(xué)生提供數(shù)據(jù)、圖形，那么學(xué)生就需要花費較長的時間思考與探索知識.如果教師為學(xué)生提供數(shù)據(jù)的同時展示圖形，那么學(xué)生就可以快速解決數(shù)學(xué)問題.所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要從不同角度出發(fā)，做好學(xué)生教育的指導(dǎo)工作，將數(shù)形結(jié)合知識展現(xiàn)在學(xué)生面前，鍛煉學(xué)生的學(xué)以致用能力，讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的樂趣，進而主動針對數(shù)學(xué)知識點進行探究.如教師在數(shù)學(xué)課堂中講述立體幾何知識點時就需要引導(dǎo)學(xué)生嘗試使用不同圖形求出解析式，并結(jié)合所得出的解析式畫出對應(yīng)圖形，實現(xiàn)鍛煉學(xué)生學(xué)以致用能力的目標.所以在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要合理運用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法，結(jié)合數(shù)學(xué)知識點的特點，提升數(shù)學(xué)教學(xué)的生動性與趣味性，將學(xué)生從被動學(xué)習(xí)狀態(tài)中解放出來，讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的樂趣，進而端正數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的態(tài)度，實現(xiàn)思維啟發(fā)與發(fā)展目標，逐漸提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，掌握數(shù)形結(jié)合的使用方法.

三、數(shù)形結(jié)合思想方法的運用案例

（一）在集合教學(xué)中應(yīng)用

集合是高中階段學(xué)生在開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動時接觸的第一章內(nèi)容.這部分知識具有較高的基礎(chǔ)性，相較于其他模塊，整體難度相對偏低.打好基礎(chǔ)對于后續(xù)教學(xué)活動的開展具有一定的現(xiàn)實意義.所以，在教學(xué)中，教師一定要形成正確的教學(xué)思想，不能因為這一部分內(nèi)容較為簡單或在高考中所占分值不高，就忽視它.為了夯實學(xué)生的基礎(chǔ)，做好教學(xué)鋪墊，教師可在這一模塊教學(xué)中引入數(shù)形結(jié)合思想，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的集合框架，使之更好地理解集合關(guān)系，奠定邏輯思維發(fā)展意識.在集合的教學(xué)過程中，數(shù)形結(jié)合思想方法主要有兩種不同的形式，分別為韋恩圖以及數(shù)軸.

首先，韋恩圖多用于根據(jù)已知條件推導(dǎo)集合類的問題中.如，學(xué)生會經(jīng)常遇到這樣的問題，題干中給出了兩個已知條件且較為明確的結(jié)合要求驗證二者之間的關(guān)系.而針對已知條件，學(xué)生便可利用韋恩圖進行分類，以直觀的形式看出兩個集合之間的從屬關(guān)系.如韋恩圖中的交叉部分表示集合共有，稱為交集；兩個圖形中所有元素的集合稱為并集；若兩個圖形之間沒有交集，則表示兩個集合沒有交集，在數(shù)學(xué)定義上被稱為空集.韋恩圖表示如圖1.

其次，數(shù)軸多用于已知條件相對較模糊的集合類問題中.當(dāng)學(xué)生在題干中能夠看到兩個集合，并且二者存在子集或包含關(guān)系時，便可以運用數(shù)軸對問題進行分析，以數(shù)形結(jié)合的方式直觀展現(xiàn)題干內(nèi)容.

例題 已知|x-1|+|x-5|=4，求x的取值范圍.

解析 在處理這道問題時，學(xué)生可以將|x-1|與|x-5|看作兩個集合，通過計算得出子集范圍.再利用數(shù)軸表示子集范圍（如圖2），便可以直接觀察出問題的答案，即1≤x≤5.

（二）在函數(shù)教學(xué)中應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)體系中，函數(shù)占據(jù)著極高的地位，也是學(xué)生公認的難點知識內(nèi)容，甚至很多學(xué)生在高中階段會直接選擇放棄函數(shù)這一部分知識，但顯然這一做法并不可取.一方面，函數(shù)學(xué)習(xí)能充分鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力；另一方面，在高考數(shù)學(xué)試卷中，函數(shù)占據(jù)著較大的分值，若學(xué)生放棄這一部分，無論是基于傳統(tǒng)的應(yīng)試教育角度還是素質(zhì)教育角度都并不合理.教師需要采取創(chuàng)新性的教學(xué)手段，有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，夯實學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，讓學(xué)生能夠逐步掌握數(shù)學(xué)知識概念，提高自己的學(xué)習(xí)能力.而這一創(chuàng)新性的教學(xué)手段，便是數(shù)形結(jié)合思想方法.在高中函數(shù)教學(xué)中使用數(shù)形結(jié)合的思想方法能夠讓學(xué)生深入理解知識點，掌握計算方法.由于函數(shù)屬于高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點之一，所以教師就需要做好創(chuàng)新工作，發(fā)揮數(shù)形結(jié)合教學(xué)法的作用.函數(shù)性質(zhì)屬于學(xué)生理解難度大、需要深刻記憶的知識點，同時是函數(shù)知識中的重點，如果教師直接使用書面教育方法，很容易影響學(xué)生對函數(shù)知識的理解，甚至還會打擊學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.但是在數(shù)形結(jié)合方法的使用下，學(xué)生能夠?qū)⒑瘮?shù)圖像中的不同點與函數(shù)性質(zhì)對應(yīng)在一起，便于記憶與理解函數(shù)知識.使用數(shù)形結(jié)合方法開展函數(shù)教學(xué)還可以鍛煉學(xué)生使用圖形解決數(shù)學(xué)問題的能力.由于函數(shù)圖像具有對稱性特點，學(xué)生可以將函數(shù)性質(zhì)中的知識點與圖像結(jié)合在一起，進而獲取問題答案.另外，高中函數(shù)知識在函數(shù)性質(zhì)方面具有相似性的特點，如y=sinx與y=cosx的函數(shù)性質(zhì)的相似性較高，如果教師沒有做好引導(dǎo)工作，學(xué)生很容易出現(xiàn)知識點混淆等問題.所以教師就需要利用數(shù)形結(jié)合的方法，幫助學(xué)生準確理解函數(shù)知識，提升數(shù)學(xué)教學(xué)的便捷性.

首先，教師可以在函數(shù)教學(xué)中利用數(shù)形結(jié)合法，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性.相校于其他課程來說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度較高，但很多知識的使用價值也較高.由于學(xué)生并不具備豐富的經(jīng)驗，沒有掌握知識的內(nèi)涵，所以經(jīng)常會遇到一些問題，但如若其這些問題沒有得到很好地處理，其自身的學(xué)習(xí)動力也會被削弱.所以，教師可以通過數(shù)形結(jié)合的方式，將函數(shù)中一些抽象的信息形象化地展現(xiàn)出來，從而增強教學(xué)直觀性，緩解學(xué)生的壓力，使之產(chǎn)生自信，進而產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣.

例題 已知函數(shù)f（x）=|x-2|+1，g（x）=kx，若方程f（x）=g（x）有兩個不等實數(shù)根，求k的取值范圍.

解析 在接觸這道習(xí)題時，學(xué)生的第一反應(yīng)應(yīng)該是根據(jù)題干信息繪制函數(shù)圖像，直觀展示題干中已知信息的關(guān)系，奠定分析基礎(chǔ).（如圖3）

教師通過這一方式引導(dǎo)學(xué)生開展學(xué)習(xí)活動，能夠直觀地將復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系展示在學(xué)生面前，引導(dǎo)學(xué)生通過作圖的方式解答方程問題，降低解題難度與復(fù)雜程度，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)自信與成就感，從而產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣，加深知識鞏固.

結(jié) 語

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中引入數(shù)形結(jié)合的思想方法，具有較高的現(xiàn)實意義.這一方法的引入，能夠深化學(xué)生的知識理解，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.但是在具體的教學(xué)中，教師也要遵循相應(yīng)的教學(xué)原則，如等價性原則、雙向性原則、簡潔性原則，以此充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的教育價值.除此之外，教師要落實教學(xué)要點，注重數(shù)形間的轉(zhuǎn)換，合理地將數(shù)形結(jié)合與多媒體、實際生活相互融合，為學(xué)生提供充足的教學(xué)輔助，從而打造高效課堂.

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