磁荷對Hayward-Anti-de Sitter黑洞的全息互信息的影響

摘 要：Hayward黑洞是愛因斯坦引力非線性耦合一個攜帶磁荷的電磁場的解析解，是非線性磁單極子引力場的簡并結構。一般情況下，黑洞的內部會存在奇點，而“非奇異”黑洞是一種內部沒有奇點的黑洞。Hayward黑洞屬于非奇異黑洞，此規則黑洞的對稱性由磁勢決定，帶磁荷和不帶磁荷的黑洞具有不同的微觀結構。利用糾纏熵討論磁荷對非奇異Hayward-Anti-de Sitter黑洞中全息互信息的影響。結果表明，隨著條帶寬度（子區域）的增加，2個漸進子系統糾纏增大，且全息互信息隨磁荷的增加而降低。除此之外，存在臨界磁荷使得全息互信息為零，此時對偶的子區域之間不存在糾纏，磁荷取不同值時，全息互信息消失的條帶寬度臨界值是不同的。

關 鍵 詞：全息互信息; 糾纏熵; 磁荷; AdS黑洞

中圖分類號：P145.8 文獻標志碼：A

doi：10.3969/j.issn.1673-5862.2023.06.014

Effect of magnetic charges on holographic mutual information of Hayward-Anti-de Sitter black holes

LI Huiling， ZHANG Ning， ZHANG Baoqi， LI Yao

（College of Physical Science and Technology， Shenyang Normal University， Shenyang 110034， China）

Abstract：Hayward black hole is an analytical solution of Einstein’s gravitational nonlinear coupling of an electromagnetic field carrying magnetic charges. In general， there will be singularities inside black holes， and \"non-singular\" black holes are black holes without internal singularities， and Hayward black holes are non-singular. Hayward black hole is a degenerate structure of the nonlinear magnetic monopole gravitational field. The symmetry of the regular black hole is determined by the magnetic potential， and the magnetic charge and the non-magnetic charge have different microstructures. We discuss the influence of magnetic charge on holographic mutual information in nonsingular Hayward-Anti-de Sitter black hole by using entanglement entropy. The results show that the entanglement of the two asymptotic subsystems increases with the increase of the strip width （subregion）， and the holographic mutual information decreases with the increase of magnetic charge， In addition， there is a critical magnetic charge that makes the holographic mutual information zero， and there is no entanglement between the subregions of the duality， and when the magnetic charge takes different values， the critical value of the stripe width of the holographic mutual information disappearing is different.

Key words：holographic mutual information; entangled entropy; magnetic charge; Anti-de Sitter（Ads） black hole

黑洞是廣義相對論中最具有深遠意義的預言之一，多年來，人們一直在研究宇宙中這個神秘天體。對于非奇異Hayward-AdS黑洞，帶磁荷和不帶磁荷的黑洞具有不同的微觀結構。全息互信息測量了量子信息理論中2個子系統之間的相關性^［1］，可以通過計算連接一個永恒AdS黑洞兩側的蟲洞長度^［2］獲得全息互信息。熱場二重態（thermalfield double state， TFD）可以描述黑洞兩側糾纏態^［3］，即

其中：β是溫度的倒數;|i〉_L和|i〉_R是兩側的AdS黑洞上相同的量子態。假設黑洞的每一側存在2個完全相同的類空子區域A和B，則A和B之間的全息互信息I（A，B）可以表示為^［4］

I（A，B）≡S（A）+S（B）-S（A∪B）

其中：S（A），S（B）是最小表面A和B上類空區域的糾纏熵;S（A∪B）是穿過事件視界連接A和B的區域的糾纏熵。

1 非奇異Hayward-AdS黑洞的全息互信息

非奇異Hayward-AdS黑洞^［5-6］是愛因斯坦引力與攜帶磁荷的電磁場非線性耦合的解析解。在四維AdS背景下的Hayward-AdS黑洞解^［7-8］為

其中，dΩ²=dθ²+sin²θdφ²，度規函數為

式（2）中得到的參數g與黑洞總磁荷Q_m有關，即

α為自由積分常數。

永恒黑洞有2個漸近的AdS區域，其可以用2個相同的、無相互作用的共形場論^［4］的TFD來進行全息描述。為了方便計算，令左漸近邊界上的子區域A和右漸近邊界上的B完全相同，即A=B。在四維背景下，將AdS黑洞邊界參數化為（x，y）的二維空間。將子區域A或B看作一條帶，其寬度為x∈（0，x₀），且沿y方向延伸，長度為Y，Y≡1。因此，子區A的糾纏熵S（A）=Region_A/4，其中Region_A是最小表面的面積，即

其中，r′=dr/dx。如果將等式（4）中的被積函數看作“拉格朗日函數” L，定義一個與x方向平移相關的守恒量為

r_min為r′=0時的轉折點。根據其表面對稱性，轉折點位于x=x₀/2。根據守恒方程（5），x₀為

式（6）中的最小面積為

由于B與A相同，所以Region_B與Region_A也是相同的。

通過黑洞視界連接區域A（左）和B（右）的最小表面面積為Region_A∪B，對應的糾纏熵為S（A∪B）=Region_A∪B/4。兩側的總面積Region_A∪B可表示為

根據全息互信息表達式I（A，B）≡S（A）+S（B）-S（A∪B），結合式（7）和式（8），得到

此即Hayward-AdS黑洞的全息互信息。

2 磁荷對全息互信息的影響

要討論靜態AdS背景下磁荷對全息互信息的影響，首先要研究非奇異Hayward黑洞的全息互信息與條帶寬度的關系。將式（6）代入到式（8）中，得到條帶的寬度x₀與全息互信息I（x₀，g）的關系

當I（x₀，g）=0時全息互信息會消失。因此，可得到全息互信息消失時條帶寬度的臨界值x_0c為

首先研究條帶的寬度x₀對轉折點位置r_min的影響。根據式（6）中條帶寬度x₀與轉折點位置r_min之間的關系，繪制如圖1所示的圖像。如圖1所示，當r_min→r_h時，條帶寬度x₀的積分發散，式（6）中所表現出的趨勢與圖1中的圖像是一致的。r_min越大對應的條帶寬度越小。由式（10）和式（11）可知，當r_min→r_h時2個邊界上條帶的寬度幾乎是發散的，所以全息互信息也是發散的，這與在圖2中所繪制的趨勢也是一致的。發散條帶的全息互信息也會是發散的。如圖2所示，當r_min≈1.269時，全息互信息消失。也就說明全息互信息消失存在一個臨界值。結合圖1和圖2，發現全息互信息I（x₀，g）和條帶寬度x₀之間也存在密切關系，從而作出圖3進行進一步研究。在圖3中，可以清晰地看出，當磁荷g取不同值時，全息互信息I（x₀，g）消失的條帶寬度臨界值x_0c是不同的。其數值結果為g=0.4時，x_0c≈1.77;g=0.6時，x_0c≈1.89;g=0.8時，x_0c≈2.15。磁荷g越大，其臨界寬度的值x_0c也越大。且當全息互信息I（x₀，g）為某一值時，對應的磁荷g不同。意味著磁荷g也會對全息互信息I（x₀，g）產生重要影響。從圖3中還發現全息互信息I（x₀，g）總是隨著條帶寬度x₀的增加而增加。可見2個漸近邊界上的子系統更大，糾纏也更大。

接下來，研究非奇異Hayward黑洞的磁荷g對全息互信息I（x₀，g）的影響。由圖4可見，對于每條曲線，全息互信息隨著磁荷的增加而減小。存在一個臨界磁荷g_c使得全息互信息為零，此時對偶的子區域之間不存在糾纏。圖4中的4條曲線從上到下對應r_min從1.18增加到1.21，步長為0.01。由此發現，當磁荷g為固定值時，r_min越大，全息互信息I（x₀，g）越小。且由圖1可知，r_min與條帶寬度x₀有關，r_min越大，邊界上的條帶寬度x₀越小，圖4中的結論與圖2中的結果相一致。當條帶寬度固定時，隨著溫度的升高，2條條帶的全息互信息也會增加。條帶的臨界寬度x_0c是使得互信息消失的寬度，即I（x_0c，g）=0。在圖4中，隨著磁荷的增大，全息互信息單調遞減。

3 結 論

對非奇異Hayward-AdS黑洞的全息互信息的研究表明：在靜態情況下，當r_min→r_h時全息互信息是發散的，且隨著條帶寬度的增加而增加，說明2個漸進子系統更大則糾纏也更大;磁荷對全息互信息有直接影響，全息互信息會隨著磁荷的增加而減小，當磁荷增加到臨近值g_c時，I（x_0c，g）=0，即全息互信息消失，可見磁荷對Hayward黑洞全息互信息產生重要影響。

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