淺談數學教學中如何培養學生的反思能力

馬列紅

反思能力是指自覺地對數學的認知活動進行分析、總結、評價、反饋、控制和調節的能力。這種能力主要分為兩大部分：一是認知過程中的自我監控能力，二是自我調節能力。培養學生的反思能力旨在用控制論原理剖析課堂信息交流的規律。且培養學生的反思能力可以促使他們從新的角度、多層次、多側面地對問題及解決問題的思維過程進行全面考慮、分析與思考，從而深化對問題的理解，揭示問題的本質，探索出問題的一般規律。

一、滲透數學的審美觀點，激發學生的反思意識

哲學數學家羅素曾說：“數學如果正確看待它，不但擁有真理，而且也具有至高無上的美。”數學是一門藝術，數學美也深深蘊藏在它的基本結構之中。我們在數學教學中經常向學生揭示內在美、對稱美、和諧美、奇異美、簡單美、統一美和類比美。

如在橢圓的定義和標準方程教學中，就應始終抓住橢圓具有的對稱美的基本特征，讓學生在美的追求中將其組織成為具有美學結構的公式，從而促使學生在積極思維中完成學習任務的教學過程。下面是化簡過程的教學設計。

由定義得|MF1|+|MF2|=2a，

又由距離公式知[（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a]? （1）

教師：方程（1）能不能作為橢圓的方程？

（稍后）可以！追問：這個形式你滿意嗎？

（稍后）不滿意！因為它不符合數學美的簡潔性特征，有繼續化簡的必要。

學生：經兩次平方（根據化簡的常規方法）整理得：

[（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）]

[∴x2a2+y2a2-c2=1（a>c>0）]

教師：此方程雖比（1）簡單多了，但是從橢圓的對稱性，我們期望它的方程也應具有對稱性，你能根據[a2-c2]的正負特點做出變換嗎？

在教師的引導下，學生輕松地設想下列方法：

學生：設[a2-c2=b2（b>0）]，

則[∴x2a2+y2b2=1（a>b>0）]，即為橢圓的標準方程。

教師給學生及時的贊揚，最后指出引進字母純粹是由于對美的追求，讓學生體會到數學原來也是妙趣橫生，充滿了美的音符，從而激發學生對數學的興趣，使學生帶著一種高漲的情緒繼續學習，這樣反思才能成為自覺的行為。

二、建立反思小檔案，養成反思習慣

人最有價值的行為和語言往往是自省和反思，而數學思維本身就是一種反思性思維，力求從最少的問題中發現最多的規律，受到最好的啟發，得到最佳的學習效果。首先，教師可讓學生準備一本學習記錄冊和錯題集，要求學生做好課前預習工作，寫下下節課的教學內容和預習中遇到的困難。同時要求寫下學習心得、個人反思，做到對知識進行分階段的大盤點，以求達到不斷建構知識的目的。其次，要求學生把作業、練習卷、測試卷中較典型的、易混淆的題記到錯題本中，而后進行兩個層次的反思。第一層次：錯在哪里？為什么出錯？是知識性錯誤，還是計算等其他原因導致錯誤？怎樣才能避免錯誤？另外可讓學生對同一類型的錯題做上標記，以便下次翻閱。第二層次反思：鼓勵學生在整理錯題時利用知識點層層拓展的特點，寫下解此題時的心路歷程，對學習行為做出自我評價，并在批判的基礎上對知識進行解構與重組，以便對思維進程具有更好的調控作用。事實上，整理錯題的過程又是一次深刻理解、鞏固知識的學習過程。以下是摘自一位學生錯題集中的題。

如橢圓[x29+y24=1]的焦點為F1 ，F2 ，點 P為其上的動點，當∠F1PF2 為鈍角時點P的橫坐標的取值范圍是? ? ? ? ? ? 。

錯因：（1）用余弦定理cos∠F1PF2<0求解時計算錯誤，因為做題時心態浮躁，只求速度計算不仔細；

（2）沒有想到用極限思想先求90°的情形。

對策：在平時的學習過程中改掉有了思路就不具體計算的習慣。

心得：平時要養成一題多思和一題多變的學習習慣，要學會像老師那樣對題進行一些加工和引申，這樣在測試時才能運籌帷幄。

變式：（1）橢圓[x29+y24=1]的焦點為F1 ，F2 ，點 P為其上的動點，當∠F1PF2 為銳角時點P的橫坐標的取值范圍是? ? ? ? ? ? 。

（2）若橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的焦點為F1 ，F2 ，點 P為其上的動點，當∠F1PF2 為銳角時點P的橫坐標的取值范圍是? ? 。（不會）

該學生帶著疑問來尋求答案，教師應對學生提出問題給予積極評價，讓學生感受到自己是一個思考者、發現者、探求者和成功者，并在課堂上以此為范例與其他學生一起探討解決。

讓反思成為學習生活中必不可少的一個重要環節，讓學生真正養成反思習慣，厚積薄發，獲得成功，也讓學生喜歡反思，并在此基礎上提高自己，真正成為學習的主人。

總之，在數學教學中培養學生的反思能力是我們數學教育工作者面臨的一個新課題，如何培養學生的反思能力，是一個從理論到實踐都需要認真研究的課題，需要我們在教學實踐中不斷探索。