基于Dirichlet-to-Neumann映射計算太赫茲頻段旋電光子晶體帶隙結構

查顯昊 胡真

摘要： 用擴展Dirichlet-to-Neumann（DtN）映射方法計算太赫茲頻段二維旋電光子晶體的帶隙結構，由于DtN映射方法僅需在單元晶格的邊界上進行離散，避免在其內部離散，因此減少了未知數的個數，使計算速度大幅度加快. 首先，構造旋電光子晶體單元晶格的DtN映射; 其次，將光子晶體的帶隙結構問題轉化為矩陣的特征值問題進行求解; 最后，數值模擬驗證用DtN映射方法計算旋電光子晶體帶隙結構的有效性.

關鍵詞： 數值方法； Dirichlet-to-Neumann映射； 特征值問題； 旋電光子晶體； 光子帶隙

中圖分類號： O436? 文獻標志碼： A? 文章編號： 1671-5489（2023）02-0400-07

Computing Bandgap Structures of Gyroelectric Photonic Crystals in Terahertz Band Based on Dirichlet-to-Neumann Map

ZHA Xianhao，HU Zhen

（College of Science，Hohai University，Nanjing 211100，China）

Abstract： We used the extended Dirichlet-to-Neumann （DtN） map method to calculate the bandgap structures

of two-dimensional gyroelectirc photonic crystals in terahertz band. Because the DtN map method only needed to discretize on the boundaries o

f the cell lattice and avoided discretization in its interior，so the number of discretization points was reduced，which made the calculation much faster.

Firstly，the DtN map of a unit cell of gyroelectirc photonic crystals was constructed. Secondly，the bandgap structrue of photonic crystal was transformed into the eigenvalue problem of matrix. Finally，

numerical simulation verified the effectiveness of using DtN map method to calculate the bandgap structure of gyroelectric photonic crystals.

Keywords： numerical method; Dirichlet-to-Neumann map; eigenvalue problem; gyroelectric photonic crystal; photonic bandgap

收稿日期： 2022-05-20.

第一作者簡介： 查顯昊（1996—），男，漢族，碩士研究生，從事光子結構數值模擬的研究，E-mail： zhaxianhao@hhu.edu.cn.

通信作者簡介： 胡 真（1982—），男，漢族，博士，副教授，從事光子結構數值模擬的研究，E-mail： huzhen@hhu.edu.cn.

基金項目： 中央高校基本科研業務費專項基金（批準號： B200202002）.

光子晶體［1］是由不同介電材料周期性排列構成的人工晶體，廣泛應用于光子晶體波導［2］、 諧振腔［3］、 光環形器［4］和光隔離器［5］等領域. 磁光光子晶體［6］是用磁光材料制成的晶體結構，可分為旋磁光子晶體和旋電光子晶體. 在外加磁場作用下，旋電材料的介電常數變成非對角元不為零的二階張量［7］. 旋電光子晶體具有光子晶體的光學特性（光子帶隙）和磁光材料的磁光效應. 結合這兩種特性，旋電光子晶體支持單向電磁邊緣模式，可用來開發非互易的太赫茲器件.

由于目前對光子晶體的研究大多數被限制在微波頻段，其對應的光器件尺寸太大而不易在芯片上集成. 因此，在太赫茲波段或可見光波段實現單向傳輸效應具有重要意義. 太赫茲波段旋電光子晶體具有開發超低損耗、 緊湊的太赫茲組件和集成設備的能力. 在旋電光子晶體的能帶圖中，簡并點在外加磁場的作用下發生分離，產生一條新的光子帶隙. 在新的帶隙中存在單向邊緣模式，該模式依賴于傳輸邊界的表面結構. 旋電光子晶體的邊緣電磁模式具有單向傳輸的特征，可用來實現非互易性太赫茲器件，在有較大的障礙物、 大角度彎曲和損耗等情況下，單向傳輸波仍可實現免疫背向散射［8］.

傳統計算光子晶體帶隙結構的方法有平面波展開法［9-11］、 有限元法［10-11］和有限時域差分法［12］等. 有限元法需離散區域內部，相關矩陣不易求解，且對色散介質建立的非線性特征值問題較復雜. 當光子晶體結構復雜或含有缺陷時，由于計算能力限制，平面波展開法難以準確計算，收斂速度慢，當介電常數是一個隨頻率變化的值時，本征方程沒有一個確定的形式，此時平面波展開法也無法求解. 有限時域差分法需較小的網格尺寸解決具有高指數對比的材料界面，并需較小的時間步長保持數值的穩定性.

文獻［13-14］提出了一種用于分析光子晶體帶隙結構的方法，即Dirichlet-to-Neumann（DtN）映射方法. DtN映射方法以單元晶格的DtN映射為基礎，利用光子晶體結構的幾何特點，建立相應的特征值問題或邊值問題分析光子晶體結構的各類性質. 利用DtN映射方法，Huang等［14-15］計算了光子晶體多層結構的透射和反射光譜，并分析了正方形周期排列的介質柱光子晶體波導管； Yuan等［13，16］計算了正方形和三角形周期排列光子晶體的光子帶隙； Hu等［17-19］模擬分析了二維光子晶體拐彎、 分支和波導管-微腔耦合結構、 Mach-Zehnder干涉儀以及光子晶體異質結構； Ye等［20］計算了正方形、 三角形和蜂巢狀光子晶體等頻線; 王夢夢等［21］分析了半無限二維光子晶體的表面模式. 本文擴展DtN映射方法，將其用于計算太赫茲頻段二維旋電光子晶體的帶隙結構. 通過構造旋電光子單元晶格的DtN映射，并基于該映射建立特征值問題進行求解，避免了在單元晶格內部的離散，僅需在邊界上進行離散，從而減少了未知數的個數，使特征值問題所涉及的矩陣較小，大幅度提高了計算速度，有利于旋電光子晶體結構的優化設計，并用數值算例驗證了方法的有效性.

綜上，本文用擴展DtN映射方法計算了太赫茲頻段二維旋電光子晶體的帶隙結構，并數值模擬驗證了DtN映射方法計算旋電光子晶體帶隙結構的有效性. 由于DtN映射方法避免了在單元晶

格內部離散，僅需在邊界上進行離散，因此相應的矩陣規模較小，提高了計算速度，與傳統平面波展開法和有限元法相比，該方法具有高效性. 在本文研究的旋電光子晶體結

構中，旋電材料介質柱或挖取的空氣洞截面均為標準圓形，因此可在單元晶格中用Helmholtz方程的柱面波特解的線性組合表示通解，從而構造出旋電光子晶體單元晶格的DtN映射.

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（責任編輯：? 王 健）