基于變限積分法的非線性Schr?dinger方程的數值格式

張燕 馮立新

摘要： 首先，利用變限積分法和四階Runge-Kutta法分別離散含五次項的非線性Schr?dinger方程的空間和時間變量，并構造初邊值問題的全離散格式； 其次，在理論上證明其數值解的有界性、 存在唯一性以及收斂階； 最后，用數值模擬驗證理論分析的有效性.

關鍵詞： Schr?dinger方程； 變限積分法； 四階Runge-Kutta法； 收斂性分析

中圖分類號： O241.82? 文獻標志碼： A? 文章編號： 1671-5489（2023）02-0303-07

Numerical Scheme of Nonlinear Schr?dinger Equation Based on Variable Limit Integral Method

ZHANG Yan，FENG Lixin

（School of Mathematical Sciences，Heilongjiang University，Harbin 150080，China）

Abstract： Firstly，the variable limit integral method and the fourth-order Runge-Kutta method were used to discretize the spatial and te

mporal variables of a nonlinear Schr?dinger equation with a fifth order term，respectively，and a fully-discrete scheme for the initial boundary value problem was constructed. Secondly，we theoretic

ally proved the boundedness，existence，uniqueness and the order of convergence of the numerical solution. Finally，the numerical simulations verified the validity of the theoretical analysis.

Keywords： Schr?dinger equation; variable integral method; fourth-order Runge-Kutta method; convergence analysis

收稿日期： 2022-07-04.

第一作者簡介： 張 燕（1997—），女，漢族，碩士研究生，從事數學物理反問題及其數值解法的研究，E-mail： w1941329266@163.com.

通信作者簡介： 馮立新（1975—），女，漢族，博士，教授，從事數學物理反問題及其數值解法的研究，E-mail： fenglixin@hlju.edu.cn.

基金項目： 國家自然科學基金面上項目（批準號： 11871198）和黑龍江省自然科學基金（批準號： LH2022A021）.

0 引 言

非線性Schr?dinger方程在光纖通信、 非線性波動力學等領域應用廣泛［1-3］. Cloot等［4］首次用有限差分法數值求解了含五次項的非線性Schr?dinger方程的初值問題； 張法勇等［5］利用有限差分法對該方程進行了數值分析，并給出了一個全離散的守恒差分格式； 張魯明等［6］基于該方程提出了一類廣義的含五次項的非線性Schr?dinger方程的初邊值問題：

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（責任編輯： 李 琦）