廣義Ablowitz-Ladik方程的守恒律和Darboux變換

謝偉康 樊方成 周冉

摘要： 基于新的2×2離散矩陣譜問題，研究廣義Ablowitz-Ladik（AL）方程的守恒律和Darboux變換. 首先，利用Riccati方法給出廣義AL方程的無窮守恒律，并得到其顯式表示; 其次，借助Lax對和規范變換構造廣義AL方程的Darboux變換; 最后，選擇恰當的種子解，給出廣義AL方程的顯式精確解，得到2-扭結孤子解，并分析解的動力學性質.

關鍵詞： 廣義Ablowitz-Ladik方程; Lax對; 守恒律; Darboux變換; 精確解

中圖分類號： O175.29? 文獻標志碼： A? 文章編號： 1671-5489（2023）02-0246-05

Conservation Law and Darboux Transformation of Generalized Ablowitz-Ladik? Equation

XIE Weikang1，FAN Fangcheng1，ZHOU Ran2

（1. School of Mathematics and Statistics，Minnan Normal University，Zhangzhou 363000，Fujian Province，China;

2. College of Mathematics，Jilin University，Changchun 130012，China）

Abstract： Based on? a new 2×2 discrete matrix spectral problem，we? studied conservation law and Darboux transformation of generalized Ablowitz-Ladik （AL）

equation. Firstly，we gave infinite? conservation law of the generalized AL equation and obtained its explicit representation by using Riccati ?method.

Secondly，Darboux transformation （DT） of the generalized AL equation was constructed by means of the Lax pair and gauge transformation. Finally， by choosing the appropriate

seed solution，we gave the explicit exact solutions of the generalized AL equation， obtained 2-kink soliton，and analyzed the dynamic properties of the solution.

Keywords： generalized Ablowitz-Ladik? equation; Lax pair; conservation law; Darboux transformation; exact solution

收稿日期： 2022-04-20.

第一作者簡介： 謝偉康（1998—），男，漢族，碩士，從事可積系統及其應用的研究，E-mail： xieweikang7@163.com.

通信作者簡介： 樊方成 （1989—），男，漢族，博士，副教授，從事可積系統及其應用的研究，E-mail： fanfc@mnnu.edu.cn.

基金項目： 福建省自然科學基金面上項目（批準號： 2022J01892）.

0 引 言

非線性Schr?dinger（NLS）方程在非線性光學、 等離子體、 水波理論、 生物物理學、 Bose-Einstein凝聚態等物理學領域應用廣泛［1-2］.? Ablowitz-Ladik（AL）方程是NLS方程的離散形式，可描述光學系統中的self-trapping機制、 化學性質和凝聚態等［3］.這兩類方程都是完全可積的，能通過Hirota雙線性方法［4］、 Darboux變換［5］和Riemann-Hilbert方法［6］等得到其孤子解、 呼吸子解和怪波解等. 這些結果為解釋相關物理現象提供了理論依據.

綜上，本文從新的2×2離散矩陣譜問題（2）和（4）出發，研究了廣義AL方程（3）的無窮守恒律和Darboux變換. 一方面，借助Riccati方程組構造法得到了廣義AL方程的無窮守恒律，并給出了其顯式表示; 另一方面，通過Lax對和規范變換構造了廣義AL方程的Darboux變換，通過選擇種子解un=1，vn=1，給出了廣義AL方程的顯式精確解（9），又通過選擇適當的參數，得到了2-扭結孤子，并分析了其動力學行為.

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（責任編輯： 趙立芹）