變中徑螺旋彈簧穩態橫向剛度的解析計算及仿真

耿向明 周長城 闞世超 張云山 鄭偉

（1.山東理工大學，淄博 255000；2.山東汽車彈簧廠淄博有限公司，淄博 255000）

主題詞：變中徑彈簧 莫爾積分 橫向剛度 變形

1 前言

螺旋彈簧是一種基本的彈性元件，是車輛懸架的重要組成部分[1]。螺旋彈簧種類很多，與普通圓柱彈簧相比，變中徑螺旋彈簧具有更加良好的性能。

文獻[2]、文獻[3]給出的彈簧橫向剛度計算方法僅適用于計算普通圓柱彈簧的橫向剛度。米彩盈[4-6]利用圓柱彈簧計算高度的一半，導出了圓柱彈簧的橫向剛度計算式，但不適用于變中徑彈簧的橫向剛度計算。肖維雄[7]采用有限元方法對普通圓柱螺旋彈簧的剛度進行了計算。陽光武[8]比較分析了幾種圓柱彈簧橫向剛度計算方法，確定了計算圓柱彈簧計算高度的方法。林炳宏[9]分析計算了變中徑彈簧的垂向剛度，但未計算其橫向剛度。肖光育[10]計算了腰鼓型變剛度螺旋彈簧的垂向剛度，但沒有計算其橫向剛度。張名楊[11]修正了在靜載作用下的克雷特克（Krettek）公式，計算了普通圓柱彈簧的橫向剛度。丘盛昌[12]對圓柱彈簧進行力學研究，建立了其橫向剛度計算模型，但未約束圓柱彈簧端部。方子帆[13]計算了多段式組合變剛度懸架螺旋彈簧的垂向剛度，但未計算彈簧的橫向剛度。張英會[14]在彈簧手冊中計算了變中徑彈簧的垂向剛度及圓柱彈簧的穩態橫向剛度，但未計算變中徑彈簧的穩態橫向剛度。

通過目前對變中徑彈簧剛度的研究分析可知，暫無變中徑彈簧的穩態橫向剛度準確計算方法。為此，本文通過力學分析，運用莫爾積分推導變中徑彈簧端部穩態約束彎矩計算公式、基于約束彎矩的彈簧穩態橫向剛度計算公式，運用有限元仿真驗證公式的正確性，并基于穩態橫向剛度推導出變中徑彈簧任意位置穩態撓度的理論計算式。

2 彈簧端部穩態約束彎矩的解析計算

2.1 變中徑彈簧基本參數

變中徑彈簧的投影輪廓如圖1所示。

圖1 變中徑彈簧參數示意

圖中，Hp為彈簧計算高度，D1、D2分別為彈簧小圈、大圈直徑，α為彈簧的螺旋角，d為彈簧的簧絲直徑，F為彈簧端部受到的橫向載荷，Mw為使彈簧端部保持水平的約束彎矩，即彈簧端部穩態約束彎矩。當變中徑彈簧端部受到橫向載荷作用時，彈簧端部保持水平，則端部必然受到穩態約束彎矩，因此，在計算變中徑彈簧穩態橫向剛度時，應考慮此彎矩。

2.2 變中徑彈簧端部約束彎矩的解析計算

2.2.1 變中徑彈簧受力分析

變中徑彈簧端部在單位橫向力Fx作用下，產生一偏角γFx，如圖2所示。假設在彈簧端部僅作用一單位彎矩M=1 N·m，此時彈簧端部產生的偏角為γM。

圖2 彈簧受單位橫向力示意

在單位橫向力作用下，受力分析模型如圖3 所示。變中徑彈簧端部施加一水平單位力Fx，在角度為θ處，橫向力Fx在絲徑豎直截面產生彎矩M1、M2。

圖3 彈簧軸向投影力學模型

M1、M2可分解為繞t軸的扭矩、繞b軸的彎矩和繞m軸的彎矩。在考慮螺旋角α的情況下，絲徑豎直截面與斜截面夾角如圖4所示，將豎直截面上的力矩投影到斜截面，可以求得斜截面上沿各軸的力矩。

圖4 截面坐標系示意

2.2.2 變中徑彈簧約束彎矩的解析計算

變中徑彈簧彈簧圈半徑表達式為：

式中，a=D1/2 為彈簧小圈半徑；kD=(D2-D1)/(4nπ)為彈簧半徑變化率；n為彈簧的有效圈數。

絲徑斜截面上沿各軸的力矩表達式為：

式中，Tt為繞t軸的扭矩；Mb為繞b軸的彎矩；Mm為繞m軸的彎矩。

同理，在變中徑彈簧端部施加單位彎矩，在考慮螺旋角α的情況下，可以求得斜截面上沿各軸的力與力矩：

式中，TMt為繞t軸的扭矩；MMb為繞b軸的彎矩；MMm為繞m軸的彎矩。

根據莫爾積分，可以求得變中徑彈簧端部在單位橫向力、單位彎矩下的轉角γFx和γM：

式中，G=E/[2(1+u)]、E分別為切變模量和彈性模量；u為彈簧材料的泊松比；A為彈簧絲徑截面的面積；Ip=πd4/32為彈簧絲徑截面的極慣性矩；In=πd4/64、Ib=πd4/64 分別為彈簧絲徑截面對n軸、b軸的慣性矩。

變中徑彈簧端部保持水平，在受到單位橫向載荷Fx時，會產生穩態約束彎矩Mw，Mw的數值大小為Q，其表達式為：

根據式（1）～式（5），可以求得穩態約束彎矩為：

式中，

3 變中徑彈簧穩態橫向柔度及穩態橫向剛度的解析計算

基于求得的Mw，在Fx和Mw共同作用下，通過力學分析，可以求得斜截面沿各軸上的力與力矩：

式中，TFxMt為繞t軸的扭矩；MFxMb為繞b軸的彎矩；MFxMm為繞m軸的彎矩。

根據莫爾積分，在彈簧端部施加單位橫向載荷Fx0，力與力矩的表達式為：

式中，TFx0Mt為繞t軸的扭矩；MFx0Mb為繞b軸的彎矩；MFx0Mm為繞m軸的彎矩。

根據莫爾積分，可求得變中徑彈簧穩態橫向柔度Rw：

根據式（8）～式（10），若彈簧螺旋角較小，即cosα≈1、sinα≈0，可求得變中徑彈簧穩態橫向柔度為：

式中，

柔度的倒數即為剛度，即變中徑穩態橫向剛度：

4 實例計算

4.1 約束彎矩及剛度計算

已知某變中徑彈簧的主要參數如下：彈簧小圈半徑R1=65 mm，大圈半徑R2=85 mm，絲徑d=13 mm，計算高度Hp=352 mm，有效圈數n=4 圈，彈性模量E=206 GPa，泊松比u=0.3，彈簧受到的橫向載荷Fx=300 N。

將彈簧實際參數代入式（6），可以求得在單位橫向力作用下的穩態橫向約束彎矩為0.183 7 N·m，將彈簧的實際參數代入式（11）、式（13），可以求得穩態橫向剛度為10.437 N/mm。

4.2 變中徑彈簧穩態橫向剛度的ANSYS仿真驗證

根據彈簧的實際參數，在UG中建立彈簧的三維模型，將模型導入ANSYS Workbench中的靜態結構（Static Structural）模塊，進行靜力學特性仿真分析。對彈簧的底部施加固定約束，對彈簧的端部施加大小為300 N的橫向載荷以及位移約束，對4組不同網格尺寸的彈簧撓度進行仿真，分析模型的網格收斂性，結果如表1所示。

表1 網格收斂性分析

由表1可知，彈簧的撓度幾乎不隨網格數量而改變，證明模型具有較好的網格收斂性。彈簧仿真結果云圖如圖5所示。由圖5可知，彈簧最大撓度值為28.806 mm，剛度為10.415 N/mm，與計算值偏差僅為0.21%，表明本文所建立的變中徑彈簧穩態橫向剛度的解析計算式是正確的。

圖5 彈簧變形云圖

5 變中徑彈簧相對橫向撓度的解析計算

5.1 彈簧等效懸臂桿等效絲徑的計算

為了計算變中徑彈簧受橫向力后，彈簧任意位置的穩態撓度，將彈簧等效為一懸臂桿，如圖6所示，并建立坐標系。其中，Fx為作用在懸臂桿端部且平行于x軸的單位橫向力?？紤]變中徑彈簧與等效懸臂桿的剛度相等，運用莫爾積分，可以求得等效懸臂桿的絲徑de。莫爾積分可以表達為：

圖6 等效懸臂桿參數

式中，ImR=πde4/64 為等效懸臂桿絲徑截面對m軸的慣性矩；y為等效懸臂桿任意位置的縱坐標。

將式（13）代入式（14），可以求得積分結果為：

將ImR代入式（15），可以求得de的表達式為：

將彈簧的實際參數代入式（16），可以求得等效懸臂桿的絲徑de=15 mm。

5.2 不同彈簧位置角處的穩態相對橫向柔度計算

基于前文建立的等效懸臂桿，桿的端部在單位橫向力作用下，應用莫爾積分，可以求得不同位置y0處的橫向穩態相對柔度Rwy：

將等效懸臂桿換為彈簧，彈簧任意位置的穩態柔度可以用θR表示，以θR為坐標，對上述表達式進行坐標變換，令y=HpθR/(2nπ)，y0=Hpφ/(2nπ)。

可以求得積分結果為：

式中，Rwφ為彈簧位置角φ處的穩態相對橫向柔度。

根據彈簧所受橫向力F，可以求得任意位置角處的橫向撓度fwφ：

結合式（18）、式（19），可以得到變中徑彈簧任意位置的穩態橫向撓度為：

將彈簧的實際參數代入式（20），在彈簧端部施加300 N 的橫向載荷，可求得位置角為0 處即彈簧端部的穩態撓度fwφ=28.743 9 mm，與仿真結果偏差僅為0.21%，表明上述理論分析正確。利用MATLAB 繪制彈簧在橫向載荷F=300 N作用下任意位置處的穩態橫向撓度，如圖7所示。

圖7 彈簧橫向撓度示意

5.3 基于穩態相對橫向撓度的彈簧形狀計算

根據彈簧不同位置角θ處的坐標，可以表達出其空間形狀，即彈簧沿坐標軸x、y、z的表達式為：

根據式（20）求解可得彈簧任意位置處的橫向撓度，因此，可以求得彈簧變形后沿x軸的表達式為：

根據式（21）、式（22），可將彈簧初始狀態和受載狀態繪制在同一圖中，如圖8所示。

通過上述理論分析，可以正確計算變中徑彈簧任意位置的橫向撓度。其中，彈簧端點處最大穩態橫向撓度為28.743 9 mm，彈簧終點處最小穩態橫向撓度為0 mm。

6 結束語

在一定計算高度下，本文針對變中徑彈簧一端固定、另一端在穩態彎矩約束下受橫向載荷的情況進行了力學研究，通過力學分析，建立了彈簧端部穩態約束彎矩、穩態橫向剛度的計算式，結合具體的變中徑彈簧計算實例，與ANSYS仿真結果進行比較，其穩態橫向剛度偏差在0.21%以內，表明所建立的變中徑彈簧穩態橫向剛度計算方法可靠，實現了對變中徑彈簧穩態橫向剛度的準確計算。最后，建立了彈簧穩態相對橫向撓度表達式，可以計算出其任意位置的橫向撓度，結合實際計算，彈簧任意位置處的橫向撓度計算值與仿真值吻合，偏差在0.21%以內，表明變中徑彈簧穩態相對撓度計算公式是正確的。

本文所建立的變中徑彈簧端部約束彎矩、穩態橫向剛度、穩態相對撓度表達式經仿真驗證是準確可靠的，可為變中徑彈簧的橫向分析、機車動力學分析提供一定參考。對于多段組合螺旋彈簧的穩態橫向剛度還有待進一步研究。