空間向量在立體幾何中的應用

■貴州省仁懷市周林高中 尹偉云

空間向量是高中數學的一個重要組成部分,在高考中具有較高的地位,是立體幾何中的一個主要命題方向,往往以“證算并重”的方式進行考查。常以多面體為載體,考查用向量法確定空間點、線、面的位置關系,求解空間角、空間距離、立體幾何中的動點探究性問題等。需要同學們借助向量的工具性作用,將空間幾何量之間的位置關系轉化為數量關系來求解。下面分類分析空間向量在立體幾何中的應用。

1.證明共線與共面問題

例1如圖1,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,點E,F分別在棱DD1,BB1上,且|ED1|=2|DE|,|BF|=2|FB1|,線段EF的中點為M。

圖1

求證:(1)點M在長方體的對角線AC1上;(2)點C1在平面AEF內。

由向量共面的充要條件知,點C1在平面AEF內。

評注:空間向量兼具代數與幾何的雙重特征,證明多點共線或多線共面問題也是從這兩個方面入手,關鍵是掌握空間向量的線性運算法則和共線、共面的充要條件。

具體方法是:要證明三點共線,可以證明任意兩點構成的一組向量共線且共點;要證明四點共面,可以利用向量共面的充要條件,即以其中一點A為起點,分別以另三點B,C,D為終點得到向量證明存在唯一的實數對(λ,μ),使成立即可;要證明兩條直線共面,可以證明兩條直線平行或相交,從而轉化為兩條直線的方向向量共不共線的問題,即若存在實數λ,使兩條直線的方向向量a,b滿足b=λa,則兩條直線平行,若不存在實數λ滿足b=λa,則兩條直線相交。

2.證明線、面的平行與垂直關系

例2如圖3所示,在直二面角D-ABE中,四邊形ABCD是邊長為2 的正方形,|AE|=|EB|,F為CE上的點,且BF⊥平面ACE,G為CE的中點。

圖3

求 證:(1)AE∥平 面BDG;(2)AE⊥平面BCE;(3)平面BDF⊥平面ABCD。

解析:因為ABCD為正方形,所以BC⊥AB。因為二面角D-AB-E為直二面角,平面DAB∩平面ABE=AB,所以BC⊥平面AEB。設線段AB的中點為O,連接OE。因為|AE|=|EB|,所以AB⊥OE。

評注:利用向量法證線面平行,一般有三個思路:一是用向量共面的充要條件,證明直線的方向向量能用平面內兩條相交直線的方向向量表示出來,即這三個向量共面,根據共面向量概念和直線在平面外,得線面平行;二是先求出平面的法向量,再證明法向量與直線的方向向量垂直;三是證明已知直線與平面內的一條直線平行,也就是將其轉化為證明線線平行的問題,再根據線面平行的判斷定理得證。

證面面平行,一般有兩個思路:一是利用向量證明一個平面內兩條相交直線平行于另一個平面,根據面面平行的判定定理得證;二是求出兩個平面的法向量,證明這兩個法向量平行,則這兩個平面平行。

證線線垂直,可轉化為兩條直線的方向向量垂直,即證明兩條直線方向向量的數量積為0。

證線面垂直有兩個思路:一是證平面的法向量與直線的方向向量平行;二是證直線與平面內兩條相交直線垂直,再用線面垂直判定定理證明。

證面面垂直,先求出兩個平面的法向量,通過證明這兩個平面的法向量垂直即可。

以上思路大多要用到平面的法向量,當題中出現線面垂直時,則該直線的方向向量就是該平面的一個法向量,為減少計算量,無需另求法向量。

3.解決平行或垂直的探索性問題

例3如圖5所示,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,A1D⊥平面ABCD,底面ABCD是邊長為1 的正方形,側棱|A1A|=2。

圖5

(1)在棱A1B上是否存在一點M,使得A1D∥平面ACM?

(2)在棱A1A上是否存在一點P,使得平面AB1C1⊥平面PB1C1?

評注:涉及線段上的動點問題,先設出動點分線段的某個比值λ,根據兩個向量共線的充要條件得數乘關系,從而用λ表示動點的坐標,再進行相關計算,這樣可以減少未知量,簡化過程。值得注意的是,應給出λ的取值范圍。另外,建系時最好用右手直角坐標系且使幾何元素盡量分布在坐標軸的正方向上。

4.求解點面距離或幾何體的體積

例4如圖7,在三棱柱ABC-A1B1C1中,棱AA1⊥側面ABC,AB⊥BC,D為AC的中點,|AA1|=|AB|=2,|BC|=3,求三棱錐A1-BC1D的體積。

圖7

解析:由題意知,B1C1,B1B,B1A1三條直線兩兩垂直,故以B1為坐標原點,建立空間直角坐標系B1-xyz,如圖8所示。

5.求空間角

例5如圖9,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PD⊥底面ABCD,直線PA與底面ABCD成60°角,點N是PB的中點。

圖9

(1)求異面直線DN與BC所成角的余弦值;(2)求直線PA與平面PBC所成角的正弦值;(3)求二面角P-NC-D的余弦值。

解二面角問題,是依據二面角兩個半平面的法向量夾角與二面角相等或互補來處理。大多數情況下是根據圖形判斷該角是銳角還是鈍角,有時也可以根據兩個半平面的法向量的指向來判斷。

6.結構不良型問題

例6(2022 年北京高考卷)如圖11,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側面BCC1B1為正方形,平面BCC1B1⊥平面ABB1A1,|AB|=|BC|=2,M,N分別為A1B1,AC的中點。

圖11

(1)求證:MN∥平面BCC1B1。(2)再從條件①、條件②中選擇一個作為已知條件,求直線AB與平面BMN所成角的正弦值。

條件①:AB⊥MN;條件②:|BM|=|MN|。

注:如果選擇條件①和條件②分別解答,那么按第一個解答計分。

解析:(1)因為側面CBB1C1為正方形,所以CB⊥BB1。又平面CBB1C1⊥平面ABB1A1,平面CBB1C1∩平面ABB1A1=BB1,CB?平 面CBB1C1,所以CB⊥平 面ABB1A1。

因為AB?平面ABB1A1,所以BC⊥AB。

評注:本題運用空間向量的三角形法則、平行四邊形法則、數量積及模的運算,得到共面和垂直關系,避開了復雜的推理過程,無需添加輔助線,降低了思維難度,讓人感到耳目一新。對于選擇性條件的結構不良試題,應該選擇一個易于入手的條件進行求解。

7.最值問題

例7(2022 年全國乙卷理數)如圖13,在四面體A-BCD中,AD⊥CD,|AD|=|CD|,∠ADB=∠BDC,E為AC的中點。

圖13

(1)證明:平面BED⊥平面ACD;(2)設|AB|=|BD|=2,∠ACB=60°,點F在棱BD上,當△AFC的面積最小時,求CF與平面ABD所成角的正弦值。

解析:(1)因為|AD|=|CD|,E為AC的中點,所以AC⊥DE。

又∠ADB=∠CDB,|DB|=|DB|,所以△ABD≌△CBD,|AB|=|CB|。連接BE,又因為E為AC的中點,所以AC⊥BE。

因為DE∩BE=E,所以AC⊥平 面BED。

因為AC?平面ACD,所以平面BED⊥平面ACD。

8.逆向探索性問題

例8已知四邊形ABCD是梯形,S為AD的中點,BC∥AD,∠BCD=90°,|AD|=2|BC|=4?，F將△ABS沿BS向上翻折,使A到A′,且二面角A′-BS-C為直二面角,E,F分別是A′S,A′B的中點,如圖15所示。

圖15

評注:對于距離、體積或空間角的逆向存在性問題,其求解思路是先假設條件存在,把假設當作新的已知條件進行推理,通過構造方程求解。若得到合理的數據,則假設成立;若出現矛盾,則假設不成立。對于翻折問題,關鍵是抓住翻折前后幾何量的變與不變進行相關計算。