解導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)不可求問題的三種策略

■河南省鄭州市回民高級中學(xué) 趙杰

導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)不可求是近幾年的高考熱點(diǎn)問題,常作為壓軸題來考查,其核心是由導(dǎo)函數(shù)的正、負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性。用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)的單調(diào)性時(shí),往往需要解方程f′(x)=0,若方程不易求解時(shí),往往給解題帶來困難,同學(xué)們可以試試采用猜、證、設(shè)的方法解決,進(jìn)而提升大家的邏輯推理和直觀想象素養(yǎng)。

策略一:猜——猜出方程f′(x)=0的根

對于題中含有字母的函數(shù)求導(dǎo)后,得到的是超越函數(shù),此時(shí)求導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)時(shí)可結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的特點(diǎn)猜出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),進(jìn)而求解。

例1已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1。

當(dāng)0＜x＜2時(shí),f′(x)＜0;

當(dāng)x＞2時(shí),f′(x)＞0。

所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2),單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+∞)。

易知當(dāng)0＜x＜1時(shí),g′(x)＜0;

當(dāng)x＞1時(shí),g′(x)＞0。

所以x=1是g(x)的最小值點(diǎn)。

故當(dāng)x＞0時(shí),g(x)≥g(1)=0。

點(diǎn)評:當(dāng)所求的導(dǎo)函數(shù)的解析式中出現(xiàn)lnx時(shí),常猜想f′(x)=0 的根為1;當(dāng)解析式中出現(xiàn)ex時(shí),常猜想f′(x)=0的根為0;當(dāng)解析式中出現(xiàn)xex-aea時(shí),常猜想f′(x)=0的根為a。

策略二:證——證明f′(x)=0 有根(無根)

函數(shù)求導(dǎo)后,導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不能求時(shí),可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的特點(diǎn)證明出導(dǎo)函數(shù)有(幾個(gè))或無零點(diǎn)。

點(diǎn)評:若導(dǎo)函數(shù)f′(x)在某區(qū)間上單調(diào),可根據(jù)單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理證出零點(diǎn)的個(gè)數(shù);若導(dǎo)函數(shù)f′(x)在某區(qū)間上不單調(diào),則通過導(dǎo)函數(shù)的極值及圖像特征確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

策略三:設(shè)——設(shè)出f′(x)=0的根

對于函數(shù)求導(dǎo)后,導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)無法求解時(shí),可設(shè)出零點(diǎn),再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解。

例3(2017年新課標(biāo)Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)=x2-x-xlnx,證明:f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)x0,且f(x0)＜2-2。

所以t(x)=0有解,即f′(x)=0存在兩個(gè)根x0,x1。

且f′(x)在(0,x0)上為正,在(x0,x1)上為負(fù),在(x1,+∞)上為正。

所以f(x)必存在唯一極大值點(diǎn)x0,且2x0-2-lnx0=0。

綜上所述,f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)x0,且f(x0)＜2-2。

點(diǎn)評:對于導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)不可求的函數(shù),利用零點(diǎn)存在定理,判斷出零點(diǎn)所在的區(qū)間,設(shè)出零點(diǎn)代入所求的函數(shù)中達(dá)到消元化簡的目的。

注:本文系2022年度河南省基礎(chǔ)教育教學(xué)研究項(xiàng)目“基于雙新的高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)、實(shí)施與評價(jià)研究” (JCJYC2203010020)研究成果。