“強(qiáng)基計(jì)劃”數(shù)學(xué)專題講座(五)
——“強(qiáng)基”數(shù)學(xué)試題中基于類比、聯(lián)想的創(chuàng)新之美賞析

■江蘇省無(wú)錫市第一中學(xué) 錢(qián)銘

■江南大學(xué)理學(xué)院 謝廣喜

創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步的靈魂,是一個(gè)國(guó)家興旺發(fā)達(dá)的不竭動(dòng)力。那么在數(shù)學(xué)學(xué)科的有關(guān)考試中,如何考查同學(xué)們的創(chuàng)新能力呢?我們認(rèn)為,類比和聯(lián)想能力是表現(xiàn)數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維最重要的方面,它可以讓創(chuàng)新思維不再是虛無(wú)縹緲,數(shù)學(xué)創(chuàng)新的思維火花不再是天外來(lái)客。正如日本物理學(xué)家湯川秀樹(shù)所說(shuō),“類比是創(chuàng)造性思維的起點(diǎn)”。同時(shí),我們還發(fā)現(xiàn),有時(shí)候一些新情況、新問(wèn)題的解決還需要通過(guò)聯(lián)想來(lái)實(shí)現(xiàn),而利用聯(lián)想解決問(wèn)題的最基本形式通常是基于結(jié)構(gòu)相似的類比。這里必須指出,在這個(gè)過(guò)程中,必要的數(shù)學(xué)知識(shí)(甚至還涉及其他學(xué)科知識(shí))是實(shí)現(xiàn)這個(gè)工作的中心環(huán)節(jié),沒(méi)有必要的知識(shí)基礎(chǔ),想通過(guò)類比聯(lián)想的辦法來(lái)創(chuàng)造性地解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題基本上是不可能的(尤其是一些難度很大的問(wèn)題,一個(gè)典型的例子是用中小學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)去研究世界難題“哥德巴赫猜想”,結(jié)果失敗是必然的)。

而基于結(jié)構(gòu)相似的類比與聯(lián)想是一種在數(shù)學(xué)解題中創(chuàng)造性地處理有關(guān)問(wèn)題的極其常用的方法,比如下面幾種常見(jiàn)形式。

另外,如果(x2-x1)·(y2-y1)≠0,還可將類比理解為一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)(分別以|x2-x1|及|y2-y1|為直角邊)。

(4)如果問(wèn)題以絕對(duì)值和的函數(shù)形式呈現(xiàn),比如f(x)=|x-a|+|x-b|,x∈R,其中a,b為實(shí)參數(shù),與數(shù)軸上的點(diǎn)類比聯(lián)系,可知f(x)=|x-a|+|x-b|≥|a-b|,當(dāng)實(shí)變量x介于a,b之間時(shí)不等式取等號(hào)。

(5)如果問(wèn)題以a2+b2-λa,b(a,b,λ∈R,ab≠0,|λ|＜2)形式呈現(xiàn),那么我們可以類比聯(lián)想到余弦定理,將其理解為一個(gè)三角形的第三邊長(zhǎng)平方(分別以|a|,|b|為兩邊,夾角的余弦值cosC=,其中cosC前的正負(fù)號(hào)與a,b符號(hào)有關(guān),同號(hào)取正,異號(hào)取負(fù))。

(6)如果問(wèn)題以|PA|+|PB|=2a＞0形式呈現(xiàn)(其中A,B為平面上兩個(gè)定點(diǎn),P為動(dòng)點(diǎn),且0＜|AB|=2c≤2a),當(dāng)c=a時(shí),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為線段AB;當(dāng)c＜a時(shí),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以A,B為焦點(diǎn)的橢圓。完全類似地,如果問(wèn)題以||PA|-|PB||=2a＞0形式呈現(xiàn)(其中A,B為平面上兩個(gè)定點(diǎn),P為動(dòng)點(diǎn),且|AB|=2c≥2a),當(dāng)c=a時(shí),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是兩條射線;當(dāng)c＞a時(shí),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線。特別地,若僅有|PA|-|PB|=2a＞0(且c＞a),則點(diǎn)P的軌跡是到A點(diǎn)較遠(yuǎn)的那一支雙曲線(單支雙曲線)。

(7)如果問(wèn)題以|PA|=λ|PB|＞0形式呈現(xiàn)(其中A,B為平面上兩個(gè)定點(diǎn),P為動(dòng)點(diǎn),λ為大于0的參數(shù)),則當(dāng)λ=1時(shí),P點(diǎn)軌跡為線段AB的垂直平分線;當(dāng)λ≠1時(shí),P點(diǎn)軌跡為阿波羅尼斯圓。

評(píng)注:從這道題我們?cè)俅慰吹?沒(méi)有相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)(比如三倍角的余弦公式)作為基礎(chǔ),聯(lián)想就失去了翅膀,創(chuàng)新的思路或解法也就很難“靈光一閃”地出現(xiàn)。

解析:聯(lián)想到我們常見(jiàn)的二進(jìn)制、十進(jìn)制等的表達(dá)形式,我們這里稱其為分?jǐn)?shù)進(jìn)制(具體這里即為二分之三進(jìn)制),對(duì)于這個(gè)新情況、新問(wèn)題,如果我們注意到2 和3 互質(zhì),是可以將其轉(zhuǎn)化為整數(shù)背景問(wèn)題去研究的。

等式兩邊同乘以2n,得:

很顯然,等式右邊是3 的倍數(shù),而a0∈{0,1,2},只有a0=1才能滿足要求。

同樣地,此時(shí)等式左邊必須是3的倍數(shù),由于a1∈{0,1,2},故只能a1=0。

評(píng)注:其實(shí),這類分?jǐn)?shù)進(jìn)制的問(wèn)題并非首次出現(xiàn),2005年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第6題就可看成是七分之一進(jìn)制問(wèn)題,只不過(guò)我們現(xiàn)在這里碰到的情形更具有一般性而已。

評(píng)注:問(wèn)題原始結(jié)構(gòu)還是比較復(fù)雜的,但我們聯(lián)想到三角函數(shù)公式后,問(wèn)題就變得柳暗花明了,但最后求值域時(shí)一定要仔細(xì),否則很容易誤選D。

該直線上任意一點(diǎn)M(a,b)到原點(diǎn)距離的平方為|OM|2=a2+b2。

坐標(biāo)原點(diǎn)到該直線的距離函數(shù)為:

評(píng)注:當(dāng)OM與直線l垂直時(shí)剛好取等號(hào)。

例8若△ABC是銳角三角形,則tanA+8tanB+13tanC的最小值為_(kāi)________。

解析:問(wèn)題呈現(xiàn)在三角形背景下的正切結(jié)構(gòu),這很容易讓我們聯(lián)想到正切恒等式。

由題意,可令x=tanA＞0,y=tanB＞0,z=tanC＞0。

記p=tanA+8tanB+13tanC,即p=x+8y+13z。(*)

由正切恒等式tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC,得x+y+z=xyz。

[經(jīng)典永流傳創(chuàng)新有源泉]

1.(2013 年華東師范大學(xué)自主招生試題)已知x,y∈R,試求:

評(píng)注:這道題完全是一道舊題,完全類似的試題之前已多次考過(guò)。

將有關(guān)角的具體值代入可得: