高二綜合測試卷（B卷）

■河南省許昌高級中學 胡銀偉

一、選擇題(本題共12 小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的。)

1.已知直線l1若直線l2與l1垂直,則直線l2的傾斜角是( )。

A.150° B.120° C.60° D.30°

2.在等差數列{an}中,設其前n項和為Sn,若a3+a11=4,則S13=( )。

A.4 B.13 C.26 D.52

3.根據圓的性質我們知道,過圓O外的一點A可以作圓O的兩條切線,切點為B與C,我們把四邊形OBAC稱為圓O的“切點四邊形”。現已知圓O:x2+y2=1,圓外有一點A(1,2),則圓O的“切點四邊形”的周長為( )。

A.2 B.4 C.6 D.8

6.已知各項均為正數的等比數列{an}的前n項和為Sn,a2a4=9,9S4=10S2,則a2+a4的值為( )。

A.6 B.9 C.10 D.30

7.由倫敦著名建筑事務所Steyn Studio設計的南非雙曲線大教堂驚艷世界,該建筑是數學與建筑完美結合造就的藝術品。若將如圖1所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線1(a＞0,b＞0)下支的一部分,且此雙曲線兩條漸近線方向向下的夾角為60°,則該雙曲線的離心率為( )。

圖1

A.2 B.4 C.8 D.9

A.1 011 B.1 013

C.2 021 D.2 023

10.若M,N為圓C:x2+y2-4x-4y+7=0上任意兩點,P為直線3x-4y+12=0上一個動點,則∠MPN的最大值是( )。

A.45° B.60° C.90° D.120°

11.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為線段AD的中點,設平面A1BC1與平面CC1E的交線為m,則直線m與AC所成角的余弦值為( )。

二、填空題(本題共4小題,每小題5分,共計20分。)

14.瑞士著名數學家歐拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上,這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”。在非等邊△ABC中,|AB|=|AC|,點B坐標為(-1,1),點C坐標為(3,-3),且其“歐拉線”與圓M:x2+y2=r2(r＞0)相切,則△ABC的“歐拉線”方程為____,圓M的半徑r=___________。

15.在棱長為2 的正方體ABCDA1B1C1D1中,分別取棱AA1,A1D1的中點E,F,點G為EF上一個動點,則點G到平面ACD1的距離為_____。

16.設橢圓=1(a＞b＞0)的左焦點為F,下頂點為A,若存在直線l與橢圓交于B,C兩點,且△ABC的重心為F,則直線BC的斜率k的取值范圍為____。

三、解答題(本大題共6小題,第17題10分,其他題每題12分,共計70分。解答時應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟。)

17.(本小題10分)已知圓C1:x2+y2+2x-6y+5=0,圓C2:x2+y2-10x+5=0。

(1)判斷圓C1與圓C2的位置關系;

(2)若過點(3,4)的直線l被圓C1、C2截得的弦長之比為1∶2,求直線l的方程。

18.(本小題12分)已知F(1,0),直線l:x=-1,P為平面上的動點,過點P作l的垂線,垂足為點Q,且

(1)求動點P的軌跡C的方程。

(2)過點F的直線與軌跡C交于A,B兩點,與直線l交于點M,設證明λ1+λ2定值,并求|λ1λ2|的取值范圍。

19.(本小題12分)已知等比數列{an}的前n項和為Sn,且an+1=Sn+2(n∈N*)。

(1)求數列{an}的通項公式;

(2)在an與an+1之間插入n個數,使這n+2個數組成一個公差為dn的等差數列,若求證:1≤Tn＜3。

20.(本小題12 分)已知點M為圓O:x2+y2=1 上的動點,點F1(-2,0),F2(2,0),延長F1M至N,使得|MN|=|F1M|,線段F1N的垂直平分線交直線F2N于點P,記P的軌跡為Γ。

(1)求Γ的方程;

(2)若直線l與Γ交于A,B兩點,且OA⊥OB,求△OAB面積的最小值。

21.(本小題12分)如圖2,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,AB∥CD,PQ∥CD,|AD|=|CD|=|DP|=2|PQ|=2|AB|=2,點E,F,M分別為AP,CD,BQ的中點。

圖2

(1)求證:EF∥平面CPM;

(2)求平面QPM與平面CPM夾角的大小;

(3)若N為線段CQ上的點,且直線DN與平面QPM所成的角為求點N到平面CPM的距離。

(1)求橢圓C的方程;

(2)若橢圓C的右頂點為D,點M,N在橢圓C上,且滿足直線DM與DN的斜率之積為證明直線MN經過定點,并求△DMN面積的最大值。