抓住本質連續(xù)追問,引領學生深度思考
——以一堂高三試卷評講課為例

毛 閏 謝 強

(重慶市第八中學校)

學會深度思考不僅是學生自身需要具備的素質,同時也是教師在數(shù)學教學過程中的重要一環(huán).筆者基于一堂高三試卷評講課,通過設置問題串,逐步引導學生學會思考,最終尋求路徑幫助學生學會運用數(shù)學思維實現(xiàn)對數(shù)學問題的深度思考.

1.問題引出

無論接受教育的人將來從事的工作是否與數(shù)學有關,數(shù)學學習的終極培養(yǎng)目標都可以描述為,會用數(shù)學的眼光觀察世界,會用數(shù)學的思維思考世界,會用數(shù)學的語言來表達世界.在本質上,這“三會”就是高中階段的數(shù)學學科核心素養(yǎng),是超越具體數(shù)學內容的教學目標,所以如何引領學生深度思考,具有持續(xù)的數(shù)學思考力,將數(shù)學思考與數(shù)學知識有機融合起來,是數(shù)學教育者所面臨的重要問題.

教師是教的主體,教師應該引導學生自主探究發(fā)現(xiàn)知識,成為學生學習的組織者、合作者與幫助者;學生是學的主體,學生應該在教師的引領下,積極地探究、發(fā)現(xiàn)、掌握知識,構建新的認知結構.教學是教師和學生雙向互動的過程,在課堂中只有教師與學生共同探究學習,才能實現(xiàn)高效課堂.作為一名教師,筆者從學生實際和個性化差異出發(fā),分別對高三年級部分學生問卷調查、訪談了解,最后通過分析,認為高三學生在學習上現(xiàn)存的一些困惑和困難.主要包括以下情況:對于基礎比較薄弱的同學,可能會出現(xiàn)上課想聽但聽不懂,課后想鞏固卻不知所措;對于基礎一般的同學,上課聽得懂但自己做題不知從何處下手,遇到難點卻不知所措,或者艱難理解參考答案直至放棄;對于基礎較好的同學,上課聽得懂,自己做題感覺也良好但仍會出錯,遇到難點知道如何思考卻浮于表面.

故筆者基于一堂高三試卷評講課,通過設置問題串,層層遞進,啟發(fā)學生如何思考并解決數(shù)學問題,逐步讓學生撥云見日,實現(xiàn)深度思考.

2.案例分析

筆者所在學校的某次周末檢測選用了2022年武漢市二調的12題,該題有一定難度,筆者所教授的班級雖然基礎較好但本題均分僅有1.58分,而且只有1人完整選出答案,有14位同學得0分.雖然本題難度較大,但是該題是一個非常經典的立體幾何綜合題目,加之本題對學生的直觀想象、數(shù)學抽象等核心素養(yǎng)有很強的滲透作用,所以筆者花了一節(jié)課的時間來評講此題.試題如下:三棱錐A-BCD各頂點均在表面積為20π的球體表面上,AB=CB=2,∠ABC=120°,∠BCD=90°,則

( )

A.若CD⊥AB,則CD=2

B.若CD=2,則CD⊥AB

通過與學生的交流,發(fā)現(xiàn)本題對于學生存在以下幾個難點:其一,不會畫圖;其二,圖畫出來后不知道D點的軌跡,即使有的同學知道D點的軌跡是一個圓,也仍然不知如何分析.基于以上兩點,筆者設計了以下問題串,連續(xù)追問,一步步引領學生抓住本質,實現(xiàn)深度思考,最終解決問題.

2.1審題——作圖識圖

問題1:結合題目信息,請問如何畫圖呢?

分析1:可以結合題目條件,先畫出草圖,同時結合條件修正圖形.

問題2:通過條件,結合草圖分析,哪些點或者量是確定的,哪些是動態(tài)的?

分析2:結合草圖發(fā)現(xiàn),三角形ABC是確定的,三棱錐A-BCD的外接球O的半徑是確定的.因此,可以把球O看成一個定球,三角形ABC在球O中所處的位置也是相對固定的,故唯一的動點是D點.

問題3:思考哪個條件決定D點的位置?D點的位置如何確定?

分析3:考慮到∠BCD=90°這個條件沒有用上,再加上這是涉及到D點的“明示”的條件,故D點的位置由此條件確定,所以D點在過C點且垂直于BC的平面α上運動.另外一個涉及到D點的明示條件是“三棱錐A-BCD各頂點均在表面積為20π的球體表面上”,結合平面α截球得到的圖形為一個圓,所以可知D點的軌跡為一個圓(除去C點),記為圓M.

設計意圖:立體幾何的難點之一就是學生不會作圖和識圖,通過這三個問題層層遞進,引導學生從不知所措到漸明真相,從畏縮不前到敢于嘗試.對處理動態(tài)問題依托動靜結合,明確哪些量是變化的,哪些量是不變的,然后引導學生明白D點的軌跡,做到心中有圖,同時在這個過程中浸潤直觀想象、數(shù)學抽象等數(shù)學核心素養(yǎng).

2.2破題——聯(lián)想整合

問題4:球心O到平面ABC與平面α的距離如何確定呢?

問題5:平面α與平面ABC有何關系?

分析5:如圖1,由于BC⊥平面α,BC?平面ABC,故平面α⊥平面ABC.

圖1

問題6:已知兩個平面垂直,最為重要的是去尋求什么呢?

分析6:兩個平面垂直,重要的是尋求其交線,然后利用面面垂直的性質定理解決問題.因為平面α⊥平面ABC,故兩個平面的交線CF是解決問題的關鍵.

問題7:當空間中不好研究D點的軌跡的變化規(guī)律時,如何更清晰地認知呢?

分析7:如圖2,抽象出D點的軌跡,將空間立體幾何問題轉化為平面幾何問題,同理也可以用類似的方法認知圓E所在平面的線與交線CF的關系,如圖3,抽象出圓E.

圖2

圖3

問題8:球心O到M的距離是多少?圓M的半徑為多少?

設計意圖:學生雖然知道了D點的軌跡,但是仍然不知如何分析,主要原因在于對空間圖形認知還不夠清晰,所以需要學生將需要研究的空間立體幾何對象抽象為平面幾何,把立體幾何與平面幾何結合起來,學生就能夠非常清晰地認知到D點的變化對整個問題的影響,從而破解此題.

2.3解題——細致嚴謹

問題9:CD的長度如何變化?CD=2有幾種情況?

問題10:如何研究AD的長度?能否求其長度的取值范圍呢?

問題11:三棱錐A-BCD的體積如何研究?其體積有無最小值呢?

設計意圖:徹底理清D點的軌跡變化后,就需要細致嚴謹?shù)亟鉀Q題中的數(shù)學問題,結合題意從選項出發(fā)將本題給學生解釋清楚.

2.4深思——深挖細究

問題12:除了用上述辦法外,還有沒有其他解法呢?

問題13:題中條件能否精簡,或加強一下?這樣變化后對D點的運動軌跡有何影響?你還可以提出哪些問題?如何解答?

設計意圖:本題除了從幾何角度認知外,不難發(fā)現(xiàn)還可以從代數(shù)角度來認知,所以可以建立空間直角坐標系來解決,引導學生學會思考一題是否有多解.同時提出一些更有難度的問題,也引領學生自己探索提出問題,培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力,從而進一步引領學生深度思考.只不過問題13相對刁鉆,需要花費時間較多,所以布置成作業(yè)讓學生課后探究,然后將比較好的問題及解決方案在班級展示.

2.5遷移——變式訓練

設計意圖:結合試題出現(xiàn)的問題和思考角度,筆者選擇一些經典的高考題作為課堂變式訓練,方便學生舉一反三,將所學進一步鞏固提升.

3.反思總結

3.1聯(lián)系條件,緊扣問題

結合數(shù)學家波利亞的《怎樣解題》,啟發(fā)筆者講解過程中注意引導學生“四問”:問題是什么?條件是什么?怎么樣把問題與條件聯(lián)系起來?還有哪些條件沒有用?

這個做法雖然看似簡單,但是對于思考數(shù)學問題,我們不難看出一些通性通法,筆者認為學生遇到數(shù)學問題不知如何思考,或者知道一點點但途中會“卡殼”,出現(xiàn)這些問題最根本的原因在于學生沒有掌握思考數(shù)學問題的法門,所以教師在課堂中應該關注如何引領學生學會思考數(shù)學問題.首先,要讓學生時刻牢記要解決什么樣的數(shù)學問題,題中告訴了哪些條件?聯(lián)系問題對條件進行翻譯,同時思考解決這些問題等價轉化為思考什么問題?同時還要提醒學生如果“卡殼”時,要習慣性地再想想是否還有條件沒有用上?如果條件都用完了,再引導學生思考是否還有條件轉化得不夠充分.

3.2連續(xù)追問,抓住本質

對于思考數(shù)學問題,在條件翻譯清楚之后,如果不搞清楚是用什么樣的理論依據(jù)來解決這個問題的,那么我們解決這個問題的思路就是模糊的.即使僥幸把問題解決對了,但對于培養(yǎng)自己的數(shù)學思考力的作用非常微小,所以就容易出現(xiàn)一種情況,學生上課感覺聽懂了但是自己做題時還是要出錯,考試時感覺非常好但實際成績略顯尷尬,而且學生自身沒有意識到問題根源所在,將錯題簡單的歸因于粗心.實際上錯誤的原因不只是粗心這么簡單,而是學生在做題時根本沒有考慮解決這個數(shù)學問題的理論依據(jù)或數(shù)學原理是什么.

因此,對于教師而言,如何引導學生養(yǎng)成深度思考的習慣,就需要要求學生“知其然,知其所以然,何以知其所以然”,故在課堂中,教師應該充分調動學生的主觀能動性,激發(fā)起學生的好奇心以及學生對真理執(zhí)著深入探尋的品質,這就需要教師引導學生思考數(shù)學問題時不能想當然地認為怎么處理就隨意為之,而是需要思考解決這個數(shù)學問題應該立足于什么樣的理論依據(jù)?這個理論依據(jù)蘊含哪些內容?用這個理論依據(jù)需要滿足什么條件?根據(jù)題中這些條件用這個理論依據(jù)可不可行?

3.3破繭成蝶,深度思考

通過以上分析,我們引導學生從題目的條件和問題設置出發(fā),步步為營,深度挖掘題目背后所蘊含的數(shù)學原理和數(shù)學思想,從而進一步對某一類型的題目進行挖掘,達到舉一反三的學習效果.同時我們也要積極引導學生進行深度思考,進一步將題目吃透,將數(shù)學問題和數(shù)學原理、數(shù)學思想融會貫通,進行知識遷移,獲得具有普遍意義上的一類數(shù)學問題的解答路徑.

總體來說,引領學生進行深度思考,需要教師引領學生面臨數(shù)學問題時有這樣的思維:

一是敢于思考和發(fā)問,題為什么要這樣設問,能不能問其他問題;為什么要這樣解答,還有沒有其他解法;

二是進一步發(fā)散思維,進行知識與方法的遷移,這種解法能不能解決多種問題,或者對于這一類問題是不是均有效;

三是進一步深度思考,并學會逆向思考,為什么要告訴這些條件,條件能否加強或者進一步精簡.能否將問題或者條件放開,將問題或結論做一般化推廣?思考其逆命題——問題和條件互換是否依然成立?