順應“三新”趨勢探索變式
——數學變式征集活動解析幾何專題試題選登

【精選變式題組】

【母題1】設A1,A2是圓的一條直徑的兩個端點,P1P2是與A1A2垂直的弦,則直線A1P1與A2P2的交點P的軌跡方程為________.

【變式1】(方法變式)將母題題設中的“圓”換為“橢圓”

設A1,A2是橢圓長軸的兩個端點,P1,P2為與A1A2垂直的直線與橢圓的兩個交點,則直線A1P1與A2P2的交點P的軌跡方程為________.

【變式2】(方法變式)將母題題設中的“圓”換為“雙曲線”

【變式3】(方法變式)將題設的“圓”換為“拋物線”,以拋物線y2=2px(p>0)為例

已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,準線與x軸的交點為C,P1,P2為與x軸垂直的直線與拋物線的兩個交點,則直線P1F與P2C的交點P的軌跡方程為________.

【母題2】已知圓C:x2+(y-2)2=4,過坐標原點作圓C的弦OM,求OM中點P的軌跡方程.

【變式1】(知識變式)特殊位置的點O(0,0)變為非特殊位置A(2,3)

已知圓C:(x-1)2+(y-1)2=9,過點A(2,3)作圓C的任意弦,則這些弦的中點P的軌跡方程為________.

【變式2】(方法變式)直接法求軌跡方程

( )

A.圓 B.橢圓

C.拋物線 D.直線

【變式3】(綜合變式)曲線方程由圓變為橢圓

【變式1】(知識變式)由距離之差為常數變為距離之和為常數

已知F1,F2是定點,且|F1F2|=8,若動點M滿足|MF1|+|MF2|=8,則動點M的軌跡是

( )

A.橢圓 B.直線

C.圓 D.線段

【變式2】(方法變式)由距離之差為常數變為距離之和為常數并融入三角形

已知在△ABC中,B(-6,0),C(6,0).若三角形ABC的兩邊AB和AC上的中線CE與BD之和為30,則三角形重心G的軌跡方程為________.

【變式3】(綜合變式)由距離之差為常數變為距離之和為常數并融入分類討論的思想

( )

A.橢圓 B.線段

C.不存在 D.橢圓或線段

【母題詳解及答案】

【母題1】【解題策略】本題考查利用交軌法求軌跡方法,運用數形結合等方法來解決,落實基礎性的考查.

【解題思路】【解法1】點撥:建立適當的平面直角坐標系,確定圓的方程,然后設出點的坐標,直線A1P1與A2P2的方程,利用交軌法求得點P的軌跡方程.

如圖,以圓心為坐標原點O,以A1A2所在直線為x軸,建立平面直角坐標系xOy.

設A1(-r,0),A2(r,0)(r>0),則圓的方程為x2+y2=r2.

整理得x2-y2=r2,即為點P的軌跡方程,軌跡為等軸雙曲線.

【解法2】點撥:解法1給出的是常見的求解軌跡的方法——交軌法,但并不是最佳解法.注意到解法1中利用條件P1,P2關于x軸對稱,和P1,P2在圓上坐標滿足x12+y12=r2,我們還可以將兩個條件合二為一利用圓的參數方程表示P1,P2.

設P(x,y),P1(rcosα,rsinα),則P2(rcosα,-rsinα),

整理得x2-y2=r2,即為點P的軌跡方程,軌跡為等軸雙曲線.

(作者單位 姓名:貴州省貴陽市第一中學 李 寒)

【變式3】y2=2px

(作者單位 姓名:山東泰安英雄山中學 尹承利)

【母題2】【解題策略】本題可分別采用直接法、定義法、相關點法求解.

【解題思路】【解法1】(直接法)設P(x,y),C(0,2),依題意知|OP|2+|CP|2=|OC|2,即x2+y2+x2+(y-2)2=4,

整理得x2+y2-2y=0,即x2+(y-1)2=1,

經檢驗,坐標原點不符合題意,否則不存在弦OM,

∴點P的軌跡方程為x2+(y-1)2=1(y≠0).

【解法2】(定義法)如圖,作OC的中點為N,N(0,1),則NP為△OCM的中位線,

∴點P的軌跡是圓,方程為x2+(y-1)2=1,

經檢驗,坐標原點不符合題意,否則不存在弦OM,

∴點P的軌跡方程為x2+(y-1)2=1(y≠0).

整理得x2+y2-2y=0,即x2+(y-1)2=1,

經檢驗,坐標原點不符合題意,否則不存在弦OM,

∴點P的軌跡方程為x2+(y-1)2=1(y≠0).

(作者單位 姓名:曲靖經開區第一中學 林之鴻)

(作者單位 姓名:河北定州中學 趙偉娜)

【變式2】A

(作者單位 姓名:曲靖經開區第一中學 林之鴻)

【變式3】2x2+y2-2ax-by=0

(作者單位 姓名:河北定州中學 趙偉娜)

【母題3】【解題策略】本題既可用坐標法求解,也可以用雙曲線的定義求解.相應解題步驟的思維導圖如下:

【解題思路】【解法1】點撥:坐標(直接)法求解

【解法2】點撥:定義法求解

【變式1】D

【變式3】D