突出理性思維 培養(yǎng)關(guān)鍵能力
——橢圓幾何性質(zhì)中的范圍問題

秦 儉 林 方

(1.湖北省武漢市華中師大一附中;2.湖北省武漢市湖北大學(xué)附屬中學(xué))

題型一:與橢圓邊界性質(zhì)有關(guān)的范圍問題

題型二:與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的范圍問題

【答案與詳解】

【題1】設(shè)P(x0,y0),

因?yàn)?b≤y0≤b,

即|PB|max=2b,符合題意,

由b2≥c2可得a2≥2c2,

顯然該不等式不成立,故選C.

由橢圓的幾何性質(zhì),知a-c<|PF2|

即e2+2e-1>0且e2+1>0,

【題3】由已知得到P(0,1),

設(shè)Q(x,y)是橢圓上的任意一點(diǎn),

所以x2=3(1-y2),

又因?yàn)?1≤y≤1,

【題4】依題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

設(shè)橢圓上的點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)P的距離為d,

則當(dāng)y=-b時(shí),d2有最大值,

從而d有最大值,

解得b2=1,所以a2=4,

【題5】設(shè)點(diǎn)P(x,y),

因?yàn)?≤x2≤a2,

即b2-c2≤c2≤b2,

【題6】易知A(0,b),設(shè)P(x0,y0),

若在C上存在點(diǎn)P,使得|PA|=3b,

則等價(jià)于|PA|max≥3b,

則a4+9c4-9a2c2≥0,

整理得9e4-9e2+1≥0,

【題7】由題意,如圖,

若在橢圓C1上不存在點(diǎn)P,

使得由點(diǎn)P所作的圓C2的兩條切線互相垂直,

則只需∠APB>90°,

等價(jià)于∠APB的最小值大于90°,

當(dāng)點(diǎn)P位于C1的長軸端點(diǎn)時(shí),∠APB的值最小,

即設(shè)∠APO=α>45°,

因?yàn)閍2=b2+c2,則3a2>8c2,

【題8】連接OP,

當(dāng)P不為橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí),

設(shè)直線PA,PB分別與圓O切于點(diǎn)A,B,∠OPA=α,

∵存在M,N使得∠MPN=120°,

∴∠APB≥120°,即α≥60°.

又α<90°,∴sinα≥sin60°.

又P是C上任意一點(diǎn),

證明:設(shè)P(x0,y0),半焦距為c,

由橢圓的對(duì)稱性,不妨設(shè)y0>0,x0≥0,

此時(shí)tan∠APB<0,故∠APB為鈍角,

又當(dāng)y0最大,即P為短軸的上頂點(diǎn)時(shí),

tan∠APB最大,即∠APB最大.

當(dāng)0

設(shè)上頂點(diǎn)為M,則∠AMB≥120°,

當(dāng)m>3時(shí),此時(shí)焦點(diǎn)在y軸上,

設(shè)右頂點(diǎn)為N,則∠ANB≥120°,

綜上所述,m的取值范圍是(0,1]∪[9,+∞).

【題10】由橢圓的對(duì)稱性知|NF1|=|MF2|,

且|MF2|+|MF1|=2a.

因?yàn)閨MN|=|F1F2|,

所以四邊形MF1NF2為矩形,

設(shè)∠NMF1=α,

因?yàn)?a=|MF2|+|MF1|=2c(sinα+cosα),

證明:設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),當(dāng)切線的斜率存在時(shí),

過點(diǎn)P作橢圓的切線方程為y=k(x-x0)+y0,

令m=y0-kx0,

與橢圓方程聯(lián)立消y整理得(1+a2k2)x2+2kma2x+a2(m2-1)=0,

當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),P也在圓x2+y2=a2+1上.

因?yàn)閳Ax2+y2=a2+1上任意一點(diǎn)向橢圓C所引的兩條切線互相垂直,

所以當(dāng)直線3x+4y-10=0與圓x2+y2=a2+1相離時(shí),∠APB恒為銳角,

解得1