樸素傳幽真 通法蘊高見
——對2022年浙江卷與北京卷解析幾何題的思考

賀 旭

(浙江省寧波市北倉明港高級中學)

2022年的浙江卷和北京卷解析幾何大題非常相似,都是考查直線與橢圓位置中的距離問題,通過設點、設線,將未知點轉化為已知點,用點參法或線參法表示距離.試題起點低,注重通性通法,主要考查學生的邏輯推理和數學運算核心素養.從表面上看,這兩道題基礎而樸素地考查了學生的解析幾何基本功,但細細揣摩,透過表象看本質,這兩道題都隱含著極點極線的數學背景.

1 試題呈現

(Ⅰ)求點P到橢圓上點的距離的最大值;

(Ⅱ)求|CD|的最小值.

【分析】點與直線是解析幾何中最基本的要素,高考題注重通性通法,最直接的解題思路就是設點或者設線,本題中涉及到的點有A,B和C,D,直線有lAP,lBP.由此可以從以下三種方案解題.

方案1:設點A,B,求點C,D;

方案2:設點C,D,由A,Q,B三點共線,求解;

方案3:設lAP,lBP,求點C,D.

(Ⅱ)方案1:設點A(x1,y1),B(x2,y2),

消去y整理得(12k2+1)x2+12kx-9=0,

因為A,Q,B三點共線,

所以易知5cd-18(c+d)+72=0,

方案3:設lAP:y=k1x+1,lBP:y=k2x+1,

則k1,k2是方程36k2-48k0k-1=0的兩根,

(Ⅰ)求橢圓E的方程;

(Ⅱ)過點P(-2,1)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B,C,直線AB,AC分別與x軸交于點M,N,當|MN|=2時,求k的值.

【分析】本題涉及到的點有B,C和M,N,直線有lAB,lAC.由此可以利用以下三種方案解題.

方案1:設點B,C,求點M,N;

方案2:設點M,N,由P,B,C三點共線求解;

方案3:設lAB,lAC,求點B,C.

(Ⅱ)方案1:設B(x1,y1),C(x2,y2),lBC:y=k(x+2)+1,

得(1+4k2)x2+(16k2+8k)x+16k2+16k=0,

所以|MN|=|xN-xM|

=2,

解得k=-4.

因為P,B,C三點共線,

所以m+n=-4.

方案3:設B(x1,y1),C(x2,y2),lAB:y=k1x+1,lAC:y=k2x+1.

因為P,B,C三點共線,所以kPB=kPC,

即(k1-k2)(k1+k2-4k1k2)=0.

所以k=-4.

2 思路剖析

卷區思路難點浙江卷方案1:設點A(x1,y1),B(x2,y2),直線lAB:y=kx+12,與橢圓方程聯立,借助韋達定理得出x1,x2之間的關系,用x1,y1,x2,y2表示xC,xD,從而用k表示|CD|①|CD|表達式化簡繁瑣;②|CD|=352·16k2+1|3k+1|目標函數求最值困難方案2:設Cc,3-c2(),Dd,3-d2(),表示出|CD|,由PC,PD的直線方程與橢圓方程聯立,求出點A,B的坐標,再根據A,Q,B三點共線,求得c,d關系式,從而求解|CD|①A,Q,B三點共線,化簡運算量大;②|c-d|=c-18c-725c-18目標函數求最值困難方案3:設lAP,lBP,聯立直線AP,AB,用k1,k0表示A點坐標,用k2,k0表示B點坐標,得出關于k1,k2的同構式,借助韋達定理求出k1,k2的關系,從而用k1,k2表示xC,xD,從而求解|CD|①難以發現k1,k2的同構關系;②|CD|=352·16k20+1|3k0+1|目標函數求最值困難

【評析】總體來說2022年浙江卷與北京卷有異曲同工之處,解法思路基本一致,從最基礎的設點、設線入手,用點參法或線參法表示距離.從難度上看,浙江卷更難些,涉及求距離的最值問題,需要換元、不等式或者求導等知識儲備,北京卷則是直接求值,簡潔直白.

研究高考題的目的不僅僅是解題,更是探尋題目背后的本質,那么浙江卷與北京卷這兩道解析幾何題有沒有什么共同的背景呢?

3 背景探究

若是能看出這道題中隱含的極點極線模型,就能知道直線AP與直線BP的斜率之積為定值,那就可以選擇方案3,胸有成竹地突破其中的難點①.

北京卷的解析幾何題也有極點極線的影子,點P的位置特殊,方案3中的直線AB,AC斜率的倒數之和是定值,這是巧合,還是必然?將北京卷的這道題進行一般化處理后,再進行探究.

與直線PB交于Q,點P,Q,B,C為調和點列,

直線AP,AQ,AB,AC為調和線束.

作一條垂直于x軸的直線,

分別交直線AP,AQ,AB,AC于P′,Q′,B′,C′,

有了這個結論,北京卷這道題可以大膽地選擇方案3,難點也將迎刃而解.

4 研題反思

解析幾何是用代數的方法研究幾何問題,代數方法在圓錐曲線中體現為運算,運算不僅僅是簡單地計算,它包含運算技巧與邏輯推理.面對圓錐曲線問題,學生常常會望而生畏,但是老師上課一講,又覺得好像也不難,設幾個點、幾條線,也就算出來了,沒什么玄機,那為什么就那么難學呢?

第一個原因是難以確定研究對象.圓錐曲線中點、線很多,設哪些點、設哪些線,學生常常很迷茫,不知如何下手.浙江卷與北京卷這兩道題很典型,以浙江卷為例,點A、點B是一對點,點C、點D是一對點,設了點A的坐標,則點C的坐標自然就有了,同理可得點B、點D的坐標.做題前,先仔細審題,分析圓錐曲線中的幾何元素,思考有關聯的點與線,再下手.

第二個原因是難以確定運算方向.設點、線后,往往需要與圓錐曲線聯立,得到相對應的點、線,但學生往往不敢算下去,被略微復雜的形式嚇唬住,譬如浙江卷中設點A,將直線PA與直線CD聯立后,得到點C形式上必然是復雜的,|CD|的表達式更是繁雜,但只要心中確定了運算方向,就應該堅定不移地運算下去,猶豫不決,半途而廢肯定是不會成功的,何不勇往直前,放手一搏.