聚焦新高考“創新性”研究
——第二屆命題征集活動函數專題優質創新試題選登

(作者單位 姓名：廣西省南寧市第八中學 謝松興)

(作者單位 姓名：廣東省華南師范大學附屬中學汕尾學校 袁平紅)

(作者單位 姓名：江西省瑞金第一中學 謝小平)

(作者單位 姓名：河南省范縣第一中學 石同民)

(作者單位 姓名：廣州市南沙第一中學 周艷祖)

【原創創新試題組】

( )

【原創3】若對任意的0ex2+1lnx1-ex1+1lnx2成立,則實數a的最大值為________.

(Ⅰ)求角A的大小;

【答案詳解及創新分析】

【試題1】【解題思路】

所以lna-lnb+b>a,

即b-lnb>a-lna.

令f(x)=x-lnx,x∈(0,+∞),

當x∈(1,+∞)時,f′(x)>0,f(x)單調遞增,

當x∈(0,1)時,f′(x)<0,f(x)單調遞減,

所以當x=1時,f(x)有極小值,

且極小值為f(1)=1,

作出f(x)=x-lnx的大致圖象如圖所示.

因為b-lnb>a-lna,所以f(b)>f(a),

對于A選項,f(x)在(0,1)上單調遞減,

當1>a>b>0時,

故A正確;

對于B,C選項,因為f(x)在(1,+∞)上單調遞增,

故B正確,C錯誤;

對于D選項,f(x)在(0,1)上單調遞減,

在(1,+∞)上單調遞增,對于0

總能找到b>1使f(b)>f(a)成立,

故D正確.

綜上,故選ABD.

【創新點分析】本題為多選題,是新高考改革新題型,考查“舉例問題”:比較三個式子的大小.數學學科的“舉例問題”設問形式靈活,要求考生根據題目給出的要求、性質和定理等條件,從題干中獲取信息,整理信息,寫出符合題干要求的結論或具體實例,從而增加了試題的開放度.

從知識背景角度上看,本題綜合考查對數的圖象及其運算性質,利用導數確定函數的單調性,解題的關鍵點是通過已知條件,構造函數f(x)=x-lnx,利用導數確定函數的單調性,結合不等式的性質比較三個式子的大小,考查考生化歸與轉化和數形結合的數學思想,考查邏輯推理、數學建模、數學運算的核心素養.

(作者單位 姓名：廣西省南寧市第八中學 謝松興)

【試題2】【解題思路】

若設函數f(x)=Asin(ωx+φ),

由f(x)的最大值為2得A=±2,

所以滿足條件的函數解析式可以為

若設函數f(x)=Acos(ωx+φ),

所以滿足條件的函數解析式可以為

若設函數f(x)=Asin(ωx+φ)+b

或f(x)=Acos(ωx+φ)+b,

在前兩種函數的基礎上調整系數A,b的大小,

使得最大值為2,比如A=±1,b=1或A=±4,b=-2,答案不唯一.

【創新點分析】本題屬于創新題型,在填空題位置設置開放性問題,答案不唯一.本題以三角函數的性質為背景,反向考查三角函數的性質.傳統考查性質的形式是給出函數的解析式,考查函數的性質,多以解答題形式設置,或者給出三角函數的圖象求解析式.本題與給出函數圖象求解析式有點類似,但是是以填空題的形式來呈現,需要考生對三角函數的圖象和性質熟練掌握,同時考查問題的思維方式跟之前也有所不同,即綜合函數的性質得解析式.

(作者單位 姓名：廣東省華南師范大學附屬中學汕尾學校 袁平紅)

【試題3】【解題思路】

由x1ex2-x2ex1>ex2+1lnx1-ex1+1lnx2,

得x1ex2-ex2+1lnx1>x2ex1-ex1+1lnx2,

即ex2(x1-elnx1)>ex1(x2-elnx2),

所以當x∈(0,e)時,g(x)<0,即f′(x)<0,

即f(x)在(0,e)上單調遞減,

故實數a的最大值為e.

【創新點分析】題干設置簡潔精練,設問新穎.因為函數的單調性考查一般是給出的函數解析式中含參,求參數的取值范圍,而解答本題首先要找到本題考查的本質,即已知函數的單調性,再用子集觀點求參數的取值范圍.找本質的關鍵是對題設的不等式進行變形實現同構,再構造函數(當下熱點),考查考生的函數與方程的思想、化歸與轉化的思想,同時也很好地考查考生邏輯思維的縝密性,充分體現了導數在研究函數單調性中的應用.

(作者單位 姓名：江西省瑞金第一中學 謝小平)

【試題4】【解題思路】

因為acosB-bcosC=(c-a)cosB,

所以2acosB=bcosC+ccosB.

由正弦定理得

2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C),

因為sin(B+C)=sinA>0,

在△ABD中,由余弦定理得,

AB2+BD2-2AB·BD·cosB=AD2,

整理得4c2+a2-2ac=4.

解得a=2,c=1.

若選②,在△ABC中,

由余弦定理,得a2+c2-2accosB=b2,

即a2+c2-ac=3,

解得a=2,c=1.

【創新點分析】隨著舊高考向新高考過渡,新高考出現的新題型也會在舊高考中有所體現,例如結構不良問題,作為一種開放性試題,考查考生的分析理解能力和優化選擇意識,是一種能夠很好地考查考生數學素養的新題型.

(作者單位 姓名：河南省范縣第一中學 石同民)

【試題5】【解題思路】

∵B∈(0,π),∴sinB≠0,

(Ⅱ)解法一:反復運用余弦定理

設BD=x,AB=y,∠ABD=θ,則CB=2x.

在△ABC中,由余弦定理得,

AC2=CB2+AB2-2CB·AB·cos∠ABC,

即12=4x2+y2-2×2x·y·cos(π-θ), ①

CB2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠CAB,

在△ABD中,由余弦定理得,

AD2=BD2+AB2-2BD·AB·cos∠ABD,

即3=x2+y2-2xycosθ.③

由③×2+①可得6x2+3y2=18,

將②代入上式可得y=2,x=1,

解法二:正弦定理+余弦定理

設BD=x,∠ABD=θ,

則CB=2x,∠ABC=π-θ.

在△ABC中,

在△ABD中,

在△ACD中,由余弦定理得,

CD2=AD2+AC2-2AD·AC·cos∠CAD,

∴CD=3,即x=1,

在△ABC中,

BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠CAB,

解得AB=2或4(舍),

解法三:用向量方法解決三角問題

【創新點分析】第(Ⅰ)問中的條件以半開放式的形式呈現,結合正弦定理與余弦定理,在三角形的邊角之間互化,考查考生解三角形中的必備知識與關鍵能力;第(Ⅱ)問要求考生敏銳捕捉條件中的重要信息,精準作出圖形,創新條件的呈現方式,在解答的過程中,可以利用傳統的正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式來完成,也可以利用向量方法來解決,向量法解題在運算量方面更具優越性,創新已知條件,從不同角度來分析題目,豐富了解題方法,也體現新高考的變化及趨勢.

(作者單位 姓名：廣州市南沙第一中學 周艷祖)